Взаимная индуктивность

Определение взаимной индуктивности

Взаимной индуктивностью называется физическая величина, характеризующая способность одного проводящего контура индуцировать электродвижущую силу (ЭДС) в другом контуре при изменении силы тока в первом. Явление взаимной индукции возникает вследствие изменения магнитного потока, пронизывающего второй контур, вызванного током в первом.

Если два проводящих замкнутых контура C1 и C2 расположены в пространстве таким образом, что магнитное поле, создаваемое током в одном контуре, пронизывает другой, то изменение тока в одном вызывает ЭДС индукции во втором.

Математическое выражение взаимной индуктивности

Магнитный поток Φ21, создаваемый током I1 в контуре C1 и пронизывающий контур C2, пропорционален току:

Φ21 = M21I1

Здесь M21 — взаимная индуктивность второго контура относительно первого.

Соответственно, изменение тока I1 во времени приводит к возникновению ЭДС индукции в контуре C2, определяемой законом Фарадея:

$$ \mathcal{E}_2 = -\frac{d\Phi_{21}}{dt} = -M_{21} \frac{dI_1}{dt} $$

Аналогично, при изменении тока I2 в контуре C2, в контуре C1 индуцируется ЭДС:

$$ \mathcal{E}_1 = -M_{12} \frac{dI_2}{dt} $$

Взаимность коэффициента индукции

Теорема взаимности утверждает, что взаимные индуктивности M12 и M21 равны между собой, независимо от формы и взаимного расположения контуров:

M12 = M21 = M

Таким образом, взаимная индуктивность — симметричная характеристика системы из двух контуров, зависящая исключительно от их геометрии и магнитной проницаемости среды, в которой они находятся.

Размерность и единицы измерения

Размерность взаимной индуктивности совпадает с размерностью индуктивности:

$$ [M] = \frac{\text{Вб}}{\text{А}} = \text{Гн} \quad (\text{генри}) $$

1 генри (Гн) — это такая взаимная индуктивность, при которой изменение тока в одном контуре на 1 ампер в секунду вызывает ЭДС 1 вольт во втором контуре.

Зависимость от геометрии системы

Взаимная индуктивность определяется:

  • размерами и формой контуров;
  • расстоянием между ними;
  • взаимной ориентацией;
  • физическими свойствами среды (в первую очередь, магнитной проницаемостью μ).

Пример: взаимная индуктивность двух коаксиальных витков

Рассмотрим два соосных витка радиусов R1 и R2, находящихся на расстоянии d друг от друга. Для случая, когда d ≫ R1, R2, взаимная индуктивность мала. Но если витки близки, можно воспользоваться приближёнными выражениями из теории магнитного поля и численно оценить M.

Взаимная индуктивность соленоидов

Пусть один соленоид помещён внутри другого. В этом случае, если длины катушек велики по сравнению с их диаметром, и витки плотно намотаны, можно получить выражение для взаимной индуктивности:

$$ M = \mu_0 \mu_r \frac{N_1 N_2 A}{l} $$

где:

  • N1 и N2 — число витков в первой и второй катушке,
  • A — площадь поперечного сечения,
  • l — длина катушек (предполагается одинаковая),
  • μ0 — магнитная постоянная,
  • μr — относительная магнитная проницаемость среды между катушками.

Это выражение аналогично формуле для собственной индуктивности длинного соленоида, но здесь учитывается вклад обеих обмоток.

Взаимная индукция и передача энергии

Явление взаимной индукции лежит в основе трансформаторов — устройств, предназначенных для передачи переменной электрической энергии между двумя или более цепями посредством магнитного поля. Переменный ток в первичной обмотке создаёт переменное магнитное поле, которое индуцирует ЭДС во вторичной обмотке. Эффективность такого процесса определяется величиной взаимной индуктивности и степенью магнитной связи между обмотками.

Коэффициент магнитной связи

Для характеристики степени связи между двумя катушками вводится безразмерный коэффициент магнитной связи k, определяемый по формуле:

$$ k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}, \quad 0 \leq k \leq 1 $$

где L1 и L2 — собственные индуктивности первой и второй катушек.

  • k = 1 — идеальная связь (всё магнитное поле одной катушки пронизывает вторую),
  • k = 0 — отсутствует связь (магнитные поля не взаимодействуют).

Значения k в реальных устройствах, таких как трансформаторы, достигают 0.95–0.99 при хорошей конструкции с магнитопроводом.

Магнитная энергия системы двух контуров

При наличии токов I1 и I2 в двух взаимодействующих индуктивных контурах, полная магнитная энергия системы выражается как:

$$ W = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2 $$

Здесь видно, что взаимодействие между токами отражается в смешанном слагаемом MI1I2. Это слагаемое может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от направлений токов и ориентации контуров.

Измерение взаимной индуктивности

Измерение взаимной индуктивности может быть выполнено:

  • через измерение индуцированной ЭДС при известном законе изменения тока в первом контуре;
  • с помощью мостовых схем, аналогичных мосту Уитстона, адаптированных для переменных токов (например, мост Максвелла);
  • с использованием осциллографов и токовых зондов при импульсных методах возбуждения.

Роль взаимной индукции в электродинамике

Взаимная индукция — ключевое явление, связующее электрические и магнитные процессы. Она находит применение в широком спектре областей:

  • трансформаторы и автотрансформаторы;
  • беспроводная передача энергии;
  • индукционные датчики и измерительные катушки;
  • магнитоиндукционные системы связи;
  • схемы гальванической развязки;
  • управление импульсными и высокочастотными устройствами.

Понимание взаимной индуктивности требует тесной связи между теорией электромагнитного поля, законами Максвелла, а также принципами линейных цепей переменного тока.

Оглавление