Явление электромагнитной индукции заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную этим контуром. Это одно из фундаментальных явлений, обнаруженных в XIX веке и положивших начало развитию теории электромагнетизма.
Майкл Фарадей экспериментально установил, что:
Математически закон Фарадея записывается в интегральной форме:
$$ \mathcal{E}_\text{инд} = -\frac{d\Phi_B}{dt} $$
где ℰинд — индуцированная ЭДС, ΦB — магнитный поток через контур.
Минус в формуле отражает правило Ленца, которое гласит: индуцированный ток имеет такое направление, при котором создаваемое им магнитное поле противодействует изменению первоначального магнитного потока.
Магнитный поток ΦB определяется как скалярное произведение вектора магнитной индукции B⃗ на вектор нормали к поверхности S⃗:
ΦB = ∫SB⃗ ⋅ dS⃗
Если поле однородно и вектор B⃗ направлен под углом θ к нормали поверхности, то:
ΦB = BScos θ
Изменение потока может происходить в результате:
Самоиндукция наблюдается в случае, когда в одном и том же контуре изменяется ток, и, как следствие, изменяется собственное магнитное поле. Это приводит к возникновению ЭДС, противодействующей изменению тока:
$$ \mathcal{E}_\text{сам} = -L \frac{dI}{dt} $$
где L — индуктивность контура.
Взаимная индукция происходит, когда изменение тока в одном контуре индуцирует ЭДС во втором, расположенном рядом:
$$ \mathcal{E}_2 = -M \frac{dI_1}{dt} $$
где M — коэффициент взаимной индукции, зависящий от геометрии контуров и их взаимного расположения.
Правило Ленца вытекает из закона сохранения энергии. Если бы индуцированный ток способствовал изменению потока, то он сам бы усиливал процесс, приводя к бесконечному нарастанию энергии — что невозможно.
Формулировка правила Ленца:
Индуцированный ток всегда направлен так, чтобы его магнитное поле противодействовало изменению магнитного потока, его вызвавшему.
Для определения направления индуцированного тока удобно использовать правило правой руки: если большой палец направлен по направлению движения проводника в магнитном поле, а поле входит в ладонь (или выходит из нее), то четыре пальца укажут направление индуцированного тока.
Если прямой проводник длиной l движется с постоянной скоростью v⃗ перпендикулярно однородному магнитному полю B⃗, то в нем индуцируется ЭДС:
ℰ = Blvsin θ
Это следствие действия силы Лоренца на свободные заряды внутри проводника. Заряды перемещаются, создавая электрическое поле, уравновешивающее магнитное воздействие.
Если контур жесткий и неподвижный, но в нем изменяется магнитное поле — возникает ЭДС индукции, согласно закону Фарадея.
Если контур движется или деформируется в магнитном поле — ЭДС индукции возникает также из-за движения проводника в поле (так называемая мотивационная ЭДС). Общее выражение для ЭДС в замкнутом движущемся контуре:
ℰ = ∮C(E⃗ + v⃗ × B⃗) ⋅ dl⃗
где v⃗ — локальная скорость элемента провода dl⃗.
Особенность ЭДС индукции в том, что оно связано с появлением вихревого электрического поля, которое не является потенциальным. Это электрическое поле способно создавать токи в замкнутых контурах даже при отсутствии источников напряжения (например, батарей).
Математическая формулировка закона Фарадея в дифференциальной форме:
$$ \operatorname{rot} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$
Это уравнение говорит о том, что изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. В отличие от электростатического поля, которое консервативно и не создает тока в замкнутом контуре, вихревое поле не имеет потенциала.
Явление электромагнитной индукции имеет важнейшие технические применения:
При изменении магнитного поля в массивном проводнике возникают вихревые токи, или токи Фуко. Эти токи образуют замкнутые контуры внутри проводника и сопровождаются выделением тепла вследствие сопротивления материала.
Мощность тепловых потерь:
P = I2R
Чтобы уменьшить токи Фуко, используют ламелирование сердечников (разделение на изолированные пластины), что препятствует образованию замкнутых токовых контуров.
Одна из фундаментальных основ классической электродинамики выражается третьим уравнением Максвелла, которое обобщает закон Фарадея:
$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$
Это уравнение говорит о том, что в природе не существует строго электростатических полей, если магнитное поле меняется с течением времени: любое такое изменение порождает электрическое поле, и наоборот.
При прохождении переменного тока через проводник создается переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, индуцирует токи в соседних участках схемы. Это требует учета индуктивного сопротивления, определяемого как:
XL = ωL
где ω = 2πf — круговая частота переменного тока.
Это сопротивление возрастает с частотой и существенно влияет на характеристики цепей переменного тока.
В общем случае, когда контур движется и деформируется в магнитном поле, ЭДС индукции выражается через закон Фарадея в интегральной форме:
$$ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} $$
При этом различают:
Эти эксперименты подтверждают фундаментальность явления и его независимость от конкретной реализации.