Явление самоиндукции

Физическая природа самоиндукции

Самоиндукцией называют электромагнитное явление, заключающееся в возникновении электродвижущей силы (ЭДС) индукции в проводящем контуре вследствие изменения тока в этом же самом контуре. Это явление является прямым следствием закона Фарадея об электромагнитной индукции, но с тем отличием, что в данном случае магнитное поле, вызывающее индукцию, создаётся самим током в контуре, а не внешними источниками.

Когда электрический ток в цепи изменяется, изменяется создаваемое им магнитное поле. Так как магнитные силовые линии пронизывают проводящий контур, возникает изменение магнитного потока через контур. В соответствии с законом Фарадея, это изменение вызывает появление ЭДС индукции, которая, в свою очередь, стремится противодействовать изменению тока, его вызвавшему. Это согласуется с правилом Ленца.

ЭДС самоиндукции

Пусть по проводящему замкнутому контуру протекает переменный ток. Тогда магнитный поток через этот контур изменяется, и в нём возникает ЭДС индукции:

$$ \mathcal{E}_\text{само} = -\frac{d\Phi}{dt} $$

Однако в случае самоиндукции магнитный поток Φ пропорционален току I, создающему его:

Φ = LI

где L — индуктивность контура (или катушки), зависящая от его геометрии и магнитных свойств окружающей среды.

Подставляя это выражение в закон Фарадея, получаем:

$$ \mathcal{E}_\text{само} = -L \frac{dI}{dt} $$

Это и есть основное уравнение самоиндукции. ЭДС самоиндукции всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению тока — возрастает ли он или убывает.

Индуктивность: определение и единицы измерения

Индуктивность L — это скалярная физическая величина, численно равная магнитному потоку, создаваемому током в 1 ампер, делённому на этот ток:

$$ L = \frac{\Phi}{I} $$

Единица измерения индуктивности в СИ — генри (Гн):

$$ 1\, \text{Гн} = 1\, \frac{\text{В} \cdot \text{с}}{\text{А}} = 1\, \frac{\text{м}^2 \cdot \text{кг}}{\text{с}^2 \cdot \text{А}^2} $$

Индуктивность замкнутого контура зависит от:

  • формы, размеров и геометрии провода;
  • числа витков (если контур представляет собой катушку);
  • расстояния между витками;
  • свойств среды (магнитной проницаемости).

Индуктивность длинного соленоида

Для длинного соленоида с числом витков N, длиной l и площадью поперечного сечения S, заполненного однородным веществом с магнитной проницаемостью μ, индуктивность выражается как:

$$ L = \mu \mu_0 \frac{N^2 S}{l} $$

где μ0 = 4π ⋅ 10−7 Гн/м — магнитная постоянная, а μ — относительная магнитная проницаемость вещества.

Энергия магнитного поля

Так как ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока, это означает, что при увеличении тока в контуре требуется работа. Эта работа накапливается в виде энергии магнитного поля. Энергия, запасённая в катушке с индуктивностью L и током I, определяется выражением:

$$ W = \frac{1}{2} L I^2 $$

Это выражение аналогично формуле для потенциальной энергии пружины и подчёркивает, что магнитное поле обладает энергетической ёмкостью.

Примеры проявления самоиндукции

  1. Включение и выключение тока При резком включении или отключении источника тока в цепи с индуктивностью наблюдаются всплески напряжения. Это объясняется тем, что $\frac{dI}{dt}$ велико, а значит, и ℰсамо достигает значительных значений.

  2. Искрение на размыкателях В цепях с катушками при размыкании наблюдается искрение. Это результат действия ЭДС самоиндукции, стремящейся поддержать ток и создающей высокое напряжение между размыкающимися контактами.

  3. Замедленное нарастание тока Если подключить катушку к источнику постоянного напряжения, ток не возрастает мгновенно, как в резисторе, а постепенно. Это также связано с противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока.

Дифференциальное уравнение для цепи с индуктивностью

Рассмотрим простейшую цепь, содержащую источник ЭДС U, резистор с сопротивлением R и катушку с индуктивностью L. Согласно второму закону Кирхгофа:

$$ U = IR + L \frac{dI}{dt} $$

Это дифференциальное уравнение описывает нарастание тока во времени. Его решение при начальном токе I(0) = 0:

$$ I(t) = \frac{U}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right) $$

Постоянная времени цепи $\tau = \frac{L}{R}$ определяет характер временного изменения тока: чем больше τ, тем медленнее ток достигает установившегося значения.

Обратное явление: спад тока

Если после достижения установившегося тока разомкнуть источник питания, ток не исчезает мгновенно, а убывает экспоненциально:

$$ I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t} $$

Это снова обусловлено стремлением ЭДС самоиндукции сохранить существующий ток, несмотря на отсутствие внешнего напряжения.

Практическое значение явления самоиндукции

Явление самоиндукции лежит в основе работы множества электротехнических и радиоэлектронных устройств:

  • катушек индуктивности в фильтрах, трансформаторах, дросселях;
  • электронных схем с временными задержками;
  • устройств плавного пуска электродвигателей;
  • реле, диммеров, систем зажигания;
  • стабилизаторов напряжения и источников тока.

Кроме того, понимание процессов самоиндукции необходимо при проектировании и защите электроцепей: неправильный учёт ЭДС самоиндукции может привести к повреждению оборудования или возникновению перенапряжений.

Оглавление