Закон Био-Савара-Лапласа

Магнитное поле и его источник

Магнитное поле создаётся движущимися электрическими зарядами, то есть электрическим током. Одним из фундаментальных результатов электродинамики является закон Био–Савара–Лапласа, позволяющий количественно определить магнитное поле, создаваемое элементом тока в произвольной точке пространства.

Этот закон является аналогом закона Кулона в электростатике, но применим к магнитному взаимодействию. В отличие от электростатического поля, которое создаётся неподвижными зарядами, магнитное поле существует только при наличии движения зарядов — тока.

Математическая формулировка

Элементарный вклад в магнитное поле d????, создаваемый бесконечно малым участком проводника d????, по которому течёт ток I, в точке наблюдения, находящейся на расстоянии r, определяется выражением:

$$ \mathbf{dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I\, [\mathbf{d\ell} \times \mathbf{r}]}{r^3} $$

где:

  • μ0 = 4π ⋅ 10−7 Гн/м — магнитная постоянная,
  • I — сила тока,
  • dℓ — вектор вдоль проводника, направление которого совпадает с направлением тока,
  • r — радиус-вектор, направленный от элемента тока к точке наблюдения,
  • r = |r| — модуль радиус-вектора,
  • dℓ × r — векторное произведение.

Направление магнитного поля

Направление элементарного магнитного поля d???? определяется по правилу правого винта или правилу буравчика: если винт вращается от вектора dℓ к вектору r, то поступательное движение винта указывает направление вектора dB.

Интегральная форма закона

Для нахождения полного магнитного поля, создаваемого произвольной токовой нитью, необходимо проинтегрировать выражение по всей длине проводника:

$$ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I\, [\mathbf{d\ell} \times \mathbf{r}]}{r^3} $$

Этот интеграл берётся вдоль всей токовой линии, и направление вектора dℓ всегда совпадает с направлением движения положительных зарядов.

Особенности закона

  • Магнитное поле убывает как 1/r2, поскольку векторное произведение и деление на r3 даёт аналог электростатического закона.
  • Магнитное поле создаётся только при наличии тока, в отличие от электрического поля, которое может быть создано и покоящимися зарядами.
  • Закон справедлив в квазистатических условиях, т.е. когда токи изменяются медленно, и можно пренебречь эффектами электромагнитной индукции.

Применение к простейшим конфигурациям

1. Прямолинейный бесконечный проводник

Для прямолинейного бесконечного проводника с током I, магнитное поле в точке на расстоянии R от провода перпендикулярно проводнику и направлено по окружности вокруг него. Величина магнитного поля определяется:

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} $$

Направление поля определяется по правилу правой руки: если обхватить провод правой рукой так, чтобы большой палец указывал вдоль тока, то пальцы покажут направление линий магнитной индукции.

2. Круговой ток

Для кольцевого тока радиуса R, создающего поле на оси кольца (ось z), на расстоянии z от центра, магнитное поле определяется выражением:

$$ B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} $$

В центре кольца (при z = 0):

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2R} $$

Это выражение важно для описания полей в катушках, соленоидах и других симметричных токовых системах.

3. Малый элемент тока (магнитный диполь)

На больших расстояниях по сравнению с размерами токового контура поле приближённо можно описать аналогом диполя в электростатике. Такой контур характеризуется магнитным моментом:

m = I ⋅ S

где S — вектор площади, ограниченной током, направленный перпендикулярно плоскости контура по правилу правого винта. Магнитное поле в точке r, создаваемое магнитным диполем, выражается:

$$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3(\mathbf{m} \cdot \mathbf{r})\mathbf{r}}{r^5} - \frac{\mathbf{m}}{r^3} \right) $$

Сравнение с электрическим полем

Аналогия между электрическим и магнитным полями важна для понимания структуры закона Био–Савара–Лапласа:

Электростатика Магнетизм
Источник — заряд q Источник — элемент тока Idℓ
Закон Кулона: $d\mathbf{E} \propto \frac{q}{r^2}$ Закон Био–Савара: $d\mathbf{B} \propto \frac{Id\ell \times \mathbf{r}}{r^3}$
Поле направлено вдоль r Поле перпендикулярно плоскости dℓ, r

Физический смысл

Закон Био–Савара–Лапласа показывает, что магнитное поле создаётся токами, и имеет характер, отличающийся от электрического поля:

  • линии магнитной индукции всегда замкнуты,
  • отсутствуют магнитные заряды (монополи),
  • вектор B всегда перпендикулярен к плоскости, содержащей вектор тока и радиус-вектор.

Этот закон даёт основу для расчётов магнитных полей в стационарных токах и лежит в фундаменте теории магнитного взаимодействия, в том числе при анализе устройств: электродвигателей, трансформаторов, катушек индуктивности и т.д.

Ограничения применимости

Закон Био–Савара–Лапласа применяется только в условиях, когда токи являются стационарными (не меняются во времени) или изменяются достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь излучением и токами смещения. В случае быстро меняющихся токов (например, в антеннах) необходимо использовать более общий аппарат уравнений Максвелла и потенциалов.

Экспериментальная проверка

Закон Био–Савара–Лапласа хорошо подтверждается экспериментами:

  • измерения поля от прямого провода,
  • распределения поля вблизи катушек,
  • закон Ампера как интегральное следствие.

Кроме того, на его основе строятся магнитометры и системы для измерения токов и полей в лабораторных и технических условиях.

Роль в теории и практике

Закон Био–Савара–Лапласа — важнейший инструмент в теории электромагнитного поля. Он используется:

  • для построения и анализа магнитных полей сложных токовых систем,
  • в численных методах (например, метод конечных элементов),
  • при моделировании магнитных материалов и устройств.

Он также служит первым шагом к формулировке более универсальных законов, таких как уравнения Максвелла, и позволяет осознать структуру и особенности магнитного взаимодействия в рамках классической электродинамики.

Оглавление