Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из резистора сопротивлением R, индуктивности L и ёмкости C, соединённых последовательно. Применим к этой системе второй закон Кирхгофа:
$$ L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = 0 $$
где $I = \frac{dq}{dt}$ — ток в цепи, а q(t) — заряд на конденсаторе. Подставляя ток как производную заряда, получим:
$$ L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0 $$
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающее затухающие колебания.
Характеристическое уравнение и его корни
Решение уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения:
$$ Lr^2 + Rr + \frac{1}{C} = 0 $$
Разрешив его, найдём корни:
$$ r_{1,2} = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4\frac{L}{C}}}{2L} $$
Величина под корнем, $\Delta = R^2 - 4\frac{L}{C}$, определяет характер затухания. Введём обозначение:
Собственная частота колебаний без затухания:
$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$
Коэффициент затухания:
$$ \gamma = \frac{R}{2L} $$
Таким образом, характеристическое уравнение принимает вид:
$$ r_{1,2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} $$
Режимы затухания
Слабо затухающий (колебательный) режим Если γ < ω0, то корни комплексные:
$$ r_{1,2} = -\gamma \pm i\omega \quad \text{где} \quad \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $$
Общее решение:
q(t) = q0e−γtcos (ωt + ϕ)
Ток:
$$ I(t) = \frac{dq}{dt} = -q_0 e^{-\gamma t} \left( \gamma \cos(\omega t + \phi) + \omega \sin(\omega t + \phi) \right) $$
Колебания происходят с экспоненциально затухающей амплитудой. Частота ω меньше собственной частоты ω0 из-за сопротивления.
Критическое затухание При γ = ω0 (или $R = 2\sqrt{L/C}$) корни совпадают:
r1, 2 = −γ
Решение:
q(t) = (A + Bt)e−γt
Колебания отсутствуют, заряд стремится к нулю без осцилляций. Это максимально быстрое затухание без колебаний.
Сильное (апериодическое) затухание Если γ > ω0, корни вещественные и разные:
$$ r_{1,2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} $$
Общее решение:
q(t) = Aer1t + Ber2t
Амплитуда затухает без колебаний, но медленнее, чем в критическом случае.
Энергия и её затухание
Полная энергия в контуре:
$$ W(t) = \frac{1}{2}L I^2(t) + \frac{q^2(t)}{2C} $$
В случае слабо затухающего колебания энергия убывает как:
W(t) ∝ e−2γt
Это обусловлено тем, что амплитуда q(t) ∝ e−γt, а энергия пропорциональна квадрату амплитуды.
Логарифмический декремент затухания
Для измерения скорости затухания вводится логарифмический декремент:
$$ \delta = \ln\left(\frac{A(t)}{A(t + T)}\right) = \gamma T $$
где $T = \frac{2\pi}{\omega}$ — период затухающего колебания.
Добротность контура
Добротность — безразмерная величина, характеризующая «качество» колебательной системы:
$$ Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} $$
Добротность показывает, во сколько раз энергия, запасённая в контуре, превышает теряемую за один период колебаний. Чем выше Q, тем слабее затухание.
Физическая интерпретация параметров
Влияние каждого из параметров:
Увеличение R приводит к более быстрому затуханию.
Увеличение L или C уменьшает частоту и замедляет затухание.
Критическое сопротивление:
$$ R_{\text{кр}} = 2\sqrt{\frac{L}{C}} $$
Разделяет колебательный и апериодический режимы.
Переходные процессы и практические аспекты
Затухающие колебания — это переходный процесс. В реальных цепях они возникают при подключении источника, разрыве цепи, коммутации. Характер переходного процесса зависит от начальных условий: начального заряда, начального тока.
Для построения графиков q(t), I(t) или W(t) следует задать значения параметров R, L, C и начальные условия. Величины γ, ω, Q, δ легко вычисляются и позволяют охарактеризовать поведение системы.
Затухающие колебания широко применяются в радиотехнике, при анализе резонансных схем, демпфировании, в электрических фильтрах и аналоговых схемах.