3+1 разложение уравнений Эйнштейна

В общей теории относительности динамика пространства-времени описывается уравнениями Эйнштейна:

G_μν + Λg_μν = 8πGT_μν,

где G_μν — тензор Эйнштейна, g_μν — метрический тензор, Λ — космологическая постоянная, T_μν — тензор энергии-импульса. Для практических задач, связанных с эволюцией пространства-времени во времени, особенно в численных расчетах черных дыр и гравитационных волн, удобно применять 3+1 разложение (ADM формализм, по Arnowitt, Deser и Misner).

Пространственно-временное разложение

3+1 разложение основано на выборке семейства пространственных гиперповерхностей Σ_t, индексируемых координатой времени t. Каждая гиперповерхность — это трехмерное пространство с метрикой γ_ij, в котором индекс i, j = 1, 2, 3.

Метрика пространства-времени разлагается как:

ds² = −α²dt² + γ_ij(dxⁱ + βⁱdt)(dx^j + β^jdt),

где:

α(t, xⁱ) — функция лапсуса (lapse function), определяющая интервал proper time между гиперповерхностями;
βⁱ(t, xⁱ) — сдвиговой вектор (shift vector), задающий смещение координат между соседними гиперповерхностями;
γ_ij(t, xⁱ) — трехмерная метрика пространственной гиперповерхности.

Таким образом, динамика четырёхмерного пространства-времени сводится к эволюции трехмерной геометрии γ_ij и её сопряженных величин.

Экструзия гиперповерхностей: тензор кривизны

Ключевое понятие 3+1 формализма — внутренняя кривизна и кривизна встраивания. Для каждой гиперповерхности Σ_t вводится внешний тензор кривизны K_ij, определяющий, как гиперповерхность изгибается в четырехмерном пространстве-времени:

$$ K_{ij} = -\frac{1}{2\alpha} \left(\partial_t \gamma_{ij} - D_i \beta_j - D_j \beta_i \right), $$

где D_i — ковариантная производная по метрике γ_ij.

K_ij несет информацию о скорости изменения геометрии гиперповерхности.
Трасформация через βⁱ учитывает движение координатной сетки, а через α — физическое течение времени.

Разделение уравнений Эйнштейна: уравнения ограничения и эволюции

После 3+1 разложения уравнения Эйнштейна разделяются на два типа:

1. Уравнения ограничения

Они накладывают ограничения на начальные данные (γ_ij, K_ij) на гиперповерхности Σ_t:

Скалярное (гамильтоново) ограничение:

ℋ = R + K² − K_ijK^ij − 16πGρ = 0,

где R — трехмерная скалярная кривизна Σ_t, K = γ^ijK_ij, ρ = T_μνn^μn^ν — плотность энергии относительно нормального наблюдателя n^μ.

Векторное (моментумное) ограничение:

ℳⁱ = D_j(K^ij − γ^ijK) − 8πGjⁱ = 0,

где jⁱ = −T_μνn^μγ^νi — поток энергии в пространственной гиперповерхности.

Эти ограничения необходимо удовлетворять на каждой гиперповерхности, чтобы эволюция была согласована с четырёхмерной геометрией.

2. Уравнения эволюции

Эволюция метрики и тензора кривизны определяется:

∂_tγ_ij = −2αK_ij + ℒ_βγ_ij,

$$ \partial_t K_{ij} = -D_i D_j \alpha + \alpha \left(R_{ij} + K K_{ij} - 2 K_{ik} K^k_j \right) + \mathcal{L}_\beta K_{ij} - 8 \pi \alpha \left(S_{ij} - \frac{1}{2} \gamma_{ij} (S - \rho)\right), $$

где:

R_ij — трехмерный тензор Риччи на гиперповерхности;
S_ij = T_μνγ_i^μγ_j^ν, S = γ^ijS_ij — пространственные компоненты энергии-импульса;
ℒ_β — производная Ли по сдвиговому вектору.

Эти уравнения позволяют пошагово вычислять динамику черных дыр, гравитационных волн или любой другой системы в общей теории относительности.

Выбор координат и фиксация лагранжиана

Функции α и βⁱ отражают свободу выбора координат (калибровку). В численных расчетах обычно выбирают:

Синхронная координата: α = 1, βⁱ = 0, время измеряется «по наблюдателю»;
1+log срезка и гамильтонов сдвиг — для стабилизации численной эволюции черных дыр.

Правильный выбор α и βⁱ критически важен для избежания сингулярностей и «раздутия» координатных сеток вблизи горизонта черной дыры.

Применение к черным дырам

3+1 разложение позволяет:

Создавать начальные данные для слияния черных дыр: решая уравнения ограничения для γ_ij и K_ij;
Отслеживать формирование горизонта событий и общую динамику;
Реализовать численное моделирование гравитационных волн, порождаемых динамикой массивных объектов;
Исследовать стационарные и вращающиеся решения, например метрику Керра или Шварцшильда, в численных сетках.

3+1 разложение является стандартным инструментом современной численной относительности и теории гравитационных волн, позволяя эволюцию четырёхмерного пространства-времени свести к управляемой трехмерной задаче с начальными данными и уравнениями эволюции.