Вблизи горизонта почти экстремальной чёрной дыры пространственно-временная геометрия приобретает специфическую симметрию, которая часто описывается как AdS₂ × S² для сферически симметричных решений или соответствующие обобщения для вращающихся и заряженных чёрных дыр.
Для экстремальной чёрной дыры Рейсснера–Нордастрема метрика вблизи горизонта r → rH можно записать в виде:
$$ ds^2 \approx -\frac{(r-r_H)^2}{L^2} dt^2 + \frac{L^2}{(r-r_H)^2} dr^2 + r_H^2 d\Omega^2, $$
где L — характерный радиус кривизны AdS₂, а rH — радиус горизонта. Здесь выделяется факторизация на двумерное анти-де Ситтеровское пространство (t, r) и сферу S2.
Ключевые моменты:
Для точного выделения AdS₂ удобно ввести новые координаты:
$$ r = r_H + \epsilon \, \rho, \quad t = \frac{\tau}{\epsilon}, $$
и рассматривать предел ϵ → 0. В этом пределе метрика принимает вид:
$$ ds^2 = L^2 \left(-\rho^2 d\tau^2 + \frac{d\rho^2}{\rho^2}\right) + r_H^2 d\Omega^2. $$
Этот предел подчёркивает масштабную симметрию вблизи горизонта: τ → λτ, ρ → ρ/λ, что является характерной особенностью AdS₂.
Двумерное анти-де Ситтеровское пространство обладает симметрией SL(2, ℝ). Генераторы этой симметрии можно записать как:
H = i∂τ, D = i(τ∂τ − ρ∂ρ), K = i(τ2∂τ − 2τρ∂ρ + ρ−1∂ρ).
Эти генераторы удовлетворяют алгебре:
[H, D] = iH, [H, K] = 2iD, [D, K] = iK.
Физический смысл:
Эта симметрия играет фундаментальную роль в теории возмущений, изучении квантовых полей на фоне чёрной дыры и в AdS₂/CFT₁ подходе к термодинамике экстремальных чёрных дыр.
Для частицы массы m движение вблизи горизонта описывается лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[-L^2 \rho^2 \dot{\tau}^2 + L^2 \frac{\dot{\rho}^2}{\rho^2}\right], $$
где точка над переменной означает производную по собственному времени. Консервативные величины:
$$ E = L^2 \rho^2 \dot{\tau} \quad \Rightarrow \quad \dot{\rho}^2 = \rho^2 - \frac{E^2}{L^2 \rho^2}. $$
Решения демонстрируют, что частица приближается к горизонту (ρ → 0) за бесконечное собственное время, отражая характерную адс-пространственную структуру и «зависание» частиц около экстремального горизонта.
Динамика скалярного поля ϕ на фоне AdS₂ × S² описывается уравнением Клейна–Гордона:
□ϕ − m2ϕ = 0,
с разделением переменных ϕ(τ, ρ, θ, φ) = ∑ℓmYℓm(θ, φ)ψℓm(τ, ρ)/rH. Для радиальной части получаем:
$$ \left[-\frac{1}{\rho^2} \partial_\tau^2 + \partial_\rho (\rho^2 \partial_\rho) - \frac{\ell(\ell+1)}{r_H^2} - m^2\right] \psi_{\ell m} = 0. $$
Следствия:
Для ротирующих (Керр) и заряженных (Рейсснер–Нордастрем) чёрных дыр структура AdS₂ сохраняется вблизи экстремального горизонта, но появляются дополнительные коррекции:
Эти эффекты критически важны для моделирования квантового испарения и изучения джетового излучения вблизи горизонта.