Чёрные дыры в теориях с дополнительными измерениями

В теориях с дополнительными измерениями, таких как теория струн и бранотные модели, чёрные дыры проявляют существенно более богатую геометрию по сравнению с четырёхмерной общей теорией относительности. Пространство-время становится многомерным, и его метрика может включать компактные измерения с малыми радиусами. В частности, для пространства D = 4 + n возможны новые типы решений уравнений Эйнштейна, включая:

Шварцшильдские решения в D > 4: метрика D-мерной сферически симметричной чёрной дыры задаётся как

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{\mu}{r^{D-3}}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{\mu}{r^{D-3}}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega_{D-2}^2, $$

где μ — параметр массы, а dΩ_D − 2² — метрика на единичной (D − 2)-сфере. Область горизонта определяется условием g_tt = 0, т.е. r_H = μ^{1/(D − 3)}.

Через горизонты и термодинамику: размер горизонта напрямую влияет на термодинамические свойства чёрной дыры. Температура Хокинга T_H и энтропия S в многомерных пространствах имеют вид:

$$ T_H = \frac{D-3}{4\pi r_H}, \quad S = \frac{A_{D-2}}{4 G_D} = \frac{\Omega_{D-2} r_H^{D-2}}{4 G_D}, $$

где Ω_D − 2 — площадь единичной сферы в D − 2 измерениях, а G_D — гравитационная постоянная в D-мерном пространстве.

Чёрные струны и браны: в пространствах с дополнительными измерениями возможно существование решений, которые представляют собой чёрные струны (horizont extended вдоль компактного измерения) и чёрные p-браны. Метрика таких объектов часто записывается в виде

$$ ds^2 = -f(r) dt^2 + f(r)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega_{D-p-2}^2 + \sum_{i=1}^p dz_i^2, $$

где z_i — координаты вдоль дополнительной измеренной браны. Такие решения обладают нестабильностью Грегори-Лафлама при определённых соотношениях размеров и радиусов горизонта.

Энергетические и динамические характеристики

Чёрные дыры в многомерных пространствах проявляют необычную зависимость массы от радиуса горизонта. Для D > 4 масса M и радиус горизонта r_H связаны как

M ∼ r_H^D − 3.

Это означает, что с увеличением числа измерений чёрная дыра становится более компактной при фиксированной массе, а её температура растёт быстрее, чем в четырёхмерном случае.

Влияние дополнительного измерения на гравитационное излучение и слияние чёрных дыр проявляется через изменение фазиного портрета: многомерные чёрные дыры могут терять стабильность в результате колебаний вдоль компактных измерений и формировать новые топологии горизонта.

Топологические особенности и нестандартные горизонты

В многомерных пространствах топология горизонта может быть сложнее, чем простая сфера. Например:

Чёрные кольца (S¹ × S^D − 3) — решения с кольцевым горизонтом, стабилизированные вращением.
Многоцентровые решения — конфигурации, состоящие из нескольких чёрных объектов, взаимное гравитационное взаимодействие которых учитывается в многомерной метрике.
Локализованные и обвивающие браны — горизонты могут “обвивать” компактные измерения, формируя сложные многомерные структуры.

Эти конфигурации нарушают уникальность решений уравнений Эйнштейна, которая характерна для четырёхмерной общей теории относительности.

Квантовые аспекты и излучение

Квантовая механика в многомерных теориях приводит к изменению спектра излучения Хокинга. В частности, плотность состояния и спектральное распределение частиц зависят от числа измерений D:

$$ \frac{d^2 N}{d\omega dt} \sim \frac{\omega^{D-2}}{e^{\omega/T_H}-1}. $$

Это приводит к ускоренному испарению многомерных чёрных дыр с увеличением числа измерений. Для малых чёрных дыр (например, в сценариях с низкой планковской массой) испарение может происходить на экспериментально доступных масштабах.

Влияние на космологию и теорию струн

Многомерные чёрные дыры играют ключевую роль в теоретических моделях:

В моделях ADD и RS (Арканов–Димопулос–Дависон и Рандалл–Сандрум) малые чёрные дыры могут образовываться при высоких энергиях и служить индикаторами размерности пространства-времени.
В теории струн они соответствуют D-бранам и позволяют исследовать микрообъёмные состояния чёрных дыр, обеспечивая микрообоснование энтропии Хокинга через конфигурации струнных состояний.
В сценариях бранотной космологии локализация гравитации на 3-бране приводит к новым условиям образования и эволюции чёрных дыр, включая взаимодействие с дополнительными измерениями.

Ключевые моменты

Метрика многомерных чёрных дыр отличается степенной зависимостью от радиуса горизонта, что изменяет термодинамику.
Появляются новые типы объектов: чёрные струны, кольца, p-браны, многоцентровые решения.
Квантовое излучение ускоряется с ростом числа измерений, спектр излучения зависит от D.
Многомерные чёрные дыры важны для космологии, теории струн и сценариев с дополнительными измерениями, предоставляя ключевые тесты структуры пространства-времени.