Диаграммы Пенроуза-Картера

Диаграммы Пенроуза–Картера представляют собой инструмент для глобального анализа структуры пространства-времени в общей теории относительности. Их основная цель — компактное изображение бесконечных областей пространства-времени в конечных координатных пределах при сохранении причинной структуры. Это достигается с помощью конформного преобразования метрики, которое «сжимает» бесконечно удалённые области, но сохраняет световые конусы.

Конформное компактирование

Конформное преобразование метрики имеет вид:

gμν → Ω2gμν,  Ω → 0  на границе.

Здесь функция Ω(x) подбирается так, чтобы «вынести» бесконечно удалённые области пространства-времени на конечное расстояние. Это позволяет анализировать структуру «на бесконечности» (null infinity, spacelike infinity, timelike infinity) и причинные связи в глобальном масштабе.

При этом сохраняются светоподобные геодезические, так как световые конусы инвариантны относительно конформных преобразований. Следовательно, диаграммы Пенроуза–Картера идеально подходят для анализа горизонтов событий, сингулярностей и асимптотических областей.

Общие правила построения

  1. Световые конусы всегда под углом 45°. Это ключевой принцип: он гарантирует сохранение причинной структуры.

  2. Геодезические частицы:

    • светоподобные — диагональные линии под углом 45°;
    • временеподобные — линии, лежащие внутри конуса;
    • пространственноподобные — линии вне конуса.

  3. Типы бесконечностей:

    • ℐ+ — будущее нулевое бесконечно удалённое;
    • ℐ− — прошлое нулевое бесконечно удалённое;
    • i+ — будущее временеподобное бесконечно удалённое;
    • i− — прошлое временеподобное бесконечно удалённое;
    • i0 — пространственноподобное бесконечно удалённое.

Эти точки и линии играют роль «границ» диаграммы.

Диаграмма для плоского пространства Минковского

Диаграмма Пенроуза для пространства Минковского имеет ромбовидную структуру.

  • Нижняя вершина ромба соответствует i−.
  • Верхняя вершина — i+.
  • Боковые диагональные границы — это ℐ− и ℐ+.
  • Средние боковые точки — это пространственная бесконечность i0.

Такая диаграмма демонстрирует, что в плоском пространстве отсутствуют горизонты событий и сингулярности.

Диаграмма для чёрной дыры Шварцшильда

Особенность решения Шварцшильда — наличие горизонта событий и центральной сингулярности.

Ключевые элементы диаграммы:

  • Внешняя область аналогична Минковскому пространству.
  • Горизонт событий изображается диагональными линиями, которые разделяют внешнюю область и область чёрной дыры.
  • Внутренняя часть ограничена пространственноподобной сингулярностью r = 0, которая представлена горизонтальной линией.

Расширение Крускала–Секереша даёт полную картину: диаграмма Шварцшильда включает не только чёрную дыру, но и белую дыру, а также два асимптотически плоских региона, соединённых через «мост Эйнштейна–Розена».

Таким образом, диаграмма Пенроуза показывает четыре области:

  1. «Наш» внешний регион.
  2. Второй асимптотически плоский регион.
  3. Внутренность чёрной дыры.
  4. Внутренность белой дыры.

Диаграммы для заряженной и вращающейся чёрной дыры

Решение Райсснера–Нордстрёма (заряжённая чёрная дыра):

  • Наличие двух горизонтов: внешнего и внутреннего.
  • На диаграмме появляется последовательность «коридоров», уходящих в бесконечность, так как после прохождения внутреннего горизонта можно попасть в новые вселенные.

Решение Керра (вращающаяся чёрная дыра):

  • Структура ещё сложнее из-за эргосферы и возможности путешествий через внутренние области.
  • На диаграмме Картера это выражается в виде многоуровневых переходов между различными асимптотическими областями.

Роль диаграмм Пенроуза–Картера

  • Глобальный анализ причинности: позволяет понять, какие области связаны между собой световыми сигналами.
  • Анализ горизонтов событий: чётко видно, какие траектории пересекают горизонт и попадают в сингулярность.
  • Сравнение различных решений: диаграммы демонстрируют топологические различия между чёрными дырами разных типов.
  • Изучение квантовой гравитации: удобный инструмент для постановки задач о радиации Хокинга и о структуре будущей бесконечности.
Оглавление