Голографическая энтропия запутанности (Holographic Entanglement Entropy, HEE) возникает как ключевое понятие в рамках голографического принципа и соответствия AdS/CFT, связывающего гравитационные теории в анти-де Ситтеровском пространстве (AdS) с конформными полевыми теориями (CFT) на его границе. В основе лежит идея, что информация о внутренней структуре квантовой системы может быть закодирована на границе пространства, что отражает фундаментальное свойство чёрных дыр — их энтропия пропорциональна площади горизонта.
Энтропия запутанности для подсистемы A в квантовой системе определяется через матрицу плотности ρA как:
SA = −Tr(ρAln ρA)
где ρA = TrB(ρ), а B — дополнительная подсистема, комплементарная A. Этот показатель измеряет степень квантовой корреляции между A и B.
В контексте гравитации, непосредственное вычисление энтропии запутанности в сильно коррелированных системах CFT затруднительно. Здесь на помощь приходит голографическая формула Рюди (Ryu-Takayanagi, RT).
Для статических состояний в пространстве AdS энтропия запутанности подмножества A на границе определяется минимальной поверхностью γA, натянутой в объём AdS:
$$ S_A = \frac{\mathrm{Area}(\gamma_A)}{4 G_N} $$
где GN — ньютоновская гравитационная постоянная, а γA удовлетворяет условию минимизации площади при фиксированной границе:
∂γA = ∂A
Ключевые моменты:
Для динамических или временно изменяющихся состояний используется обобщение RT, предложенное Хубенком и Ранком (Hubeny-Rangamani-Takayanagi, HRT):
$$ S_A = \frac{\mathrm{Area}(\gamma_A^{\text{ext}})}{4 G_N} $$
где γAext — экстремальная (не обязательно минимальная) поверхность в пространстве-времени AdS. Это позволяет учитывать:
Голографическая энтропия запутанности позволяет выявить структурную связь между квантовой запутанностью и энтропией Бекенштейна–Хокинга:
$$ S_\text{BH} = \frac{A_\text{hor}}{4 G_N} $$
1. Прямоугольная подсистема в AdS3/CFT2:
Для подсистемы длины l в одномерной CFT:
$$ S_A = \frac{c}{3} \ln \frac{l}{\epsilon} $$
где c — центральный заряд теории, ϵ — ультрафиолетовый отсечка (UV cutoff). В AdS3 это соответствует длине минимальной кривой (геодезической линии) в объёме.
2. Термальная CFT и черная дыра в AdS:
$$ S_A = \frac{c}{3} \ln \left( \frac{\beta}{\pi \epsilon} \sinh \frac{\pi l}{\beta} \right) $$
где β = 1/T — обратная температура чёрной дыры.
Это иллюстрирует, как термодинамика горизонта чёрной дыры напрямую связана с квантовой запутанностью на границе.
Формулы RT и HRT описывают классический предел, когда N → ∞ (число цветов в CFT). Квантовые гравитационные эффекты вносят поправки через энтропию Фаулкнера–Левина–Малдасены (FLM):
$$ S_A = \frac{\mathrm{Area}(\gamma_A)}{4 G_N} + S_\text{bulk}(\Sigma_A) $$
где Sbulk(ΣA) — энтропия запутанности квантового поля в области ΣA, ограниченной поверхностью γA.