Голографическая сложность

Голографическая сложность — это концепция, появившаяся на пересечении квантовой теории информации, гравитации и теории струн. Она связывает динамику черных дыр с развитием квантовых состояний в соответствующей квантовой теории поля. В основе лежит идея о том, что сложность состояния в квантовой системе может иметь геометрический или гравитационный аналог в пространстве Анти-де Ситтера (AdS), что является одной из формулировок голографического принципа.

1. Определение и физический смысл

Сложность (complexity) в квантовой теории информации характеризует минимальное число элементарных квантовых операций (квантовых вентилей), необходимых для подготовки данного состояния из фиксированного исходного состояния (обычно берется «простое» состояние, например, факторизованное).

В голографическом контексте предполагается, что сложность квантового состояния на границе AdS соответствует определённым геометрическим объектам в объёме пространства-времени. Таким образом, голографическая сложность становится мерой внутренней структуры черной дыры или других объектов в AdS-пространстве.

Ключевой физический смысл:

  • Сложность отражает внутреннюю динамику черной дыры, включая рост энтропии и эволюцию горизонта.
  • Связана с темпом термального сжатия информации в квантовой системе.
  • Предполагается, что она монотонно возрастает во времени, что отражает необратимость процессов в черной дыре.

2. Основные подходы к голографической сложности

Существуют два наиболее распространённых подхода к определению голографической сложности в AdS/CFT:

  1. Complexity = Volume (CV) В этой модели сложность пропорциональна максимальному объёму пространственной гиперповерхности, протянутой от одной границы до другой в геометрии черной дыры AdS:

    $$ \mathcal{C}_V \sim \frac{V_{\text{max}}}{G L} $$

    где Vmax — максимальный объем, G — гравитационная постоянная, L — радиус кривизны AdS.

    Физическая интерпретация: чем больше внутренний «объём» пространства-времени, тем более сложное квантовое состояние на границе. Этот подход особенно полезен для анализа черных дыр с двумя границами, например, в термальном состоянии Тоннеля-Эверетта.

  2. Complexity = Action (CA) Здесь сложность определяется через действие на Wheeler–DeWitt-конусе, охватывающем всю черную дыру:

    $$ \mathcal{C}_A \sim \frac{S_{\text{WDW}}}{\pi \hbar} $$

    где SWDW — действие на соответствующем пространственно-временном конусе.

    Этот подход тесно связан с темпом роста сложности во времени, особенно в поздние моменты эволюции черной дыры. Он позволяет напрямую связать динамику горизонта с квантовой эволюцией на границе.

3. Временная эволюция сложности

Рост голографической сложности во времени имеет особое значение:

  • Линейный рост на больших временах: После первоначальной фазы, связанной с термальным насыщением, сложность растет почти линейно в течение очень долгого времени.
  • Связь с черной дырой: В черной дыре адекватная модель линейного роста объясняется расширением внутреннего объёма за горизонтом.
  • Сатурация сложности: После крайне долгого времени (экспоненциального по числу квантовых вентилей) рост прекращается, что соответствует максимальной сложности квантовой системы.

Формально для черной дыры Шварцшильда в AdS:

$$ \frac{d\mathcal{C}}{dt} \sim 2 M $$

где M — масса черной дыры, что отражает фундаментальное ограничение на скорость изменения сложности.

4. Связь с энтропией и информацией

  • Энтропия Бекенштейна–Хокинга отражает количество микросостояний черной дыры.
  • Голографическая сложность характеризует динамику этих микросостояний, показывая, как система развивает «структуру» на квантовом уровне.
  • Связь с информационной теорией: сложность ограничивает скорость обработки информации в квантовой системе, а также накладывает пределы на скорость термального запутывания.

5. Математические модели и вычисления

Для простейшей адS-черной дыры с метрикой:

$$ ds^2 = -f(r) dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)} + r^2 d\Omega^2 $$

где $f(r) = 1 + \frac{r^2}{L^2} - \frac{2M}{r}$, вычисление CV и CA проводится через интегралы по максимальной гиперповерхности или действию на конусе WDW.

Особенности вычислений:

  • Требуется аккуратно учитывать граничные условия на границе AdS.
  • Необходимо учитывать сингулярности внутри черной дыры, которые влияют на интегралы объема и действия.
  • Результаты чувствительны к температуре и заряду черной дыры.

6. Связь с квантовой теорией информации

Голографическая сложность имеет прямое соответствие с понятиями квантовой информации:

  • Сложность как мера вычислительной мощности: сколько вентилей нужно для эволюции состояния.
  • Ранняя стадия роста сложности связана с начальной фазой квантовой динамики и формированием запутанности.
  • Поздняя стадия отражает режим, когда система достигает «квантовой насыщенности», аналогично эргодическому поведению в статистической механике.

Эти идеи дают возможность описывать эволюцию черных дыр не только как геометрический процесс, но и как процесс обработки квантовой информации.

7. Применения и современные исследования

  • Термальная динамика черных дыр: анализ роста сложности позволяет понять, как черная дыра перераспределяет энергию и информацию.
  • Проверка AdS/CFT: сравнение вычислений сложности на границе и в объеме позволяет тестировать точность голографического соответствия.
  • Квантовые компьютеры и симуляции: концепция голографической сложности вдохновляет на построение моделей эволюции сложных квантовых систем.

Современные исследования стремятся понять:

  • Влияние крутящегося момента и заряда черной дыры на сложность.
  • Связь с квантовыми фазовыми переходами и критическими точками в CFT.
  • Роль первичных коррекций в действии и их влияние на линейный рост сложности.
Оглавление