Космологическая инфляция представляет собой фазу экспоненциального расширения Вселенной на ранних этапах её существования. Основной движущей силой инфляции является инфлатонное поле ϕ, обладающее потенциалом V(ϕ), который определяет скорость и длительность ускоренного расширения. Уравнение движения инфлатона описывается:
$$ \ddot{\phi} + 3 H \dot{\phi} + \frac{\partial V}{\partial \phi} = 0, $$
где H — параметр Хаббла, определяемый как $H^2 = \frac{8\pi G}{3} \left(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + V(\phi)\right)$. В фазе медленного скатывания (ϕ̇2 ≪ V(ϕ)) энергия инфлатона доминирует, создавая почти константный H и, как следствие, экспоненциальное расширение:
a(t) ∼ eHt.
Ключевым свойством инфляции является раздувание микроскопических флуктуаций до астрономических масштабов, что создаёт плотностные неоднородности, способные в дальнейшем привести к формированию первичных чёрных дыр.
Первичные чёрные дыры (ПЧД) формируются не из коллапса звёзд, а непосредственно из крупных флуктуаций плотности в ранней Вселенной. Если в какой-либо точке космического пространства относительная плотность превышает критическое значение δc ∼ 0.3 − 0.7, локальная область может коллапсировать в чёрную дыру сразу после окончания инфляции или в эпоху радиационного доминирования.
Масса первичной чёрной дыры зависит от времени её образования t:
$$ M_\text{ПЧД} \sim \frac{c^3 t}{G} \approx 10^{5} \left(\frac{t}{10^{-23}\,\text{с}}\right) \text{г}. $$
Так как инфляция раздувает начальные неоднородности, спектр плотностных флуктуаций определяет распределение масс ПЧД. Для простых моделей инфляции с почти плоским спектром получаются ПЧД широкого диапазона масс — от планковских (10−5 г) до сотен солнечных масс.
Вероятность формирования ПЧД связана с распределением флуктуаций плотности. Для гауссовских флуктуаций:
$$ \beta(M) = \int_{\delta_c}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma(M)} \exp\left(-\frac{\delta^2}{2\sigma^2(M)}\right) d\delta, $$
где σ(M) — дисперсия плотностных флуктуаций на масштабе, соответствующем массе M. При увеличении амплитуды флуктуаций формирование ПЧД становится вероятным, но слишком большие флуктуации нарушают согласованность с наблюдаемыми анизотропиями реликтового излучения.
Ключевой момент: массовый спектр ПЧД напрямую связан с деталями инфляционного потенциала и динамикой его колебаний, включая фазу пре- и пост-инфляционных резонансов.
Разные модели инфляции создают различные спектры флуктуаций:
ПЧД могут оказывать значительное влияние на эволюцию Вселенной:
После окончания инфляции Вселенная вступает в фазу радиационного доминирования. В этот период давление радиации играет роль стабилизатора против коллапса, поэтому формирование ПЧД возможно только при экстремальных флуктуациях плотности. Для радиационной среды критическая плотность для коллапса оценивается как δc ≈ 0.45. В этом случае масса ПЧД определяется временем входа соответствующей волны в горизонт:
$$ M_\text{hor}(t) \sim \frac{c^3 t}{G}. $$
Эта зависимость подчёркивает тесную связь между масштабом флуктуаций, временем их формирования и массой возникающей ПЧД.