Интегрируемые системы в физике чёрных дыр представляют собой классы динамических систем, у которых количество независимых интегралов движения совпадает с числом степеней свободы. Это позволяет полностью решить динамику системы и предсказать эволюцию её траекторий. В гравитационной физике, особенно в задачах, связанных с движением частиц и полей в окрестности чёрных дыр, понятие интегрируемости играет ключевую роль для аналитического описания процессов, которые иначе пришлось бы моделировать численно.
Для описания движения тестовых частиц и света в метриках чёрных дыр используются уравнения геодезических. Метрика Шварцшильда, Керра и Керра–Ньюмана позволяют выделить полный набор интегралов движения:
Эти три интеграла позволяют записать уравнения движения в виде системы с разделяемыми переменными, что делает их полностью интегрируемыми. Без интеграла Картерa движение в метрике Керра было бы неинтегрируемым и потребовало бы численных методов.
Интегрируемые системы тесно связаны с симметриями пространства-времени. В случае чёрных дыр это проявляется следующим образом:
Фактически, наличие скрытых симметрий делает возможным аналитическое исследование движения частиц в сложных геометриях, включая вращающиеся чёрные дыры.
Интегрируемые системы применяются не только к движению частиц, но и к волновым уравнениям:
Уравнение Клейна–Гордона для скалярного поля в метрике Керра:
□Φ = 0
Здесь благодаря разделению переменных можно свести задачу к решению системы ОДУ для радиальной и угловой частей, используя интегралы движения.
Уравнения Дирака и Максвелла также допускают разделение переменных в интегрируемых метриках, что делает возможным аналитическое исследование эволюции спинорных и векторных полей вблизи горизонта чёрной дыры.
Для решения интегрируемых систем применяются следующие методы:
Метод Гамильтона–Якоби: позволяет найти полное решение для движения частиц через поиск функции действия S, удовлетворяющей уравнению:
$$ g^{\mu\nu} \frac{\partial S}{\partial x^\mu} \frac{\partial S}{\partial x^\nu} + m^2 = 0 $$
Метод Лакса и инверсные задачи спектральной теории: используются для более сложных систем, где движение частиц или поля может быть связано с алгебраическими кривыми или римановыми поверхностями.
Разделение переменных в криволинейных координатах: особенно эффективно в системах с аксиальной или сферической симметрией, таких как метрики Керра–Ньюмана.
Важно отметить, что интегрируемость в строгом виде существует только для идеально симметричных систем. Любые возмущения, такие как:
могут разрушить интегрируемость и привести к хаотическому поведению траекторий. Тем не менее, понимание интегрируемых систем позволяет выделять устойчивые орбиты и прогнозировать динамику даже в присутствии малых возмущений.
Прогнозирование орбитальных движений — интегрируемые модели позволяют точно описывать движение звёзд и газа вокруг сверхмассивных чёрных дыр, что важно для интерпретации наблюдений в радиодиапазоне и инфракрасном диапазоне.
Квантовая теория поля в криволинейных координатах — благодаря разделению переменных возможно аналитическое исследование излучения Хокинга и туннельных эффектов.
Тестирование общей теории относительности — интегрируемые системы предоставляют эталонные решения, с которыми можно сравнивать наблюдаемые эффекты, например, прецессию орбит, временные задержки и спектральные линии аккреционных дисков.