В общей теории относительности (ОТО) чёрные дыры обычно рассматриваются в изолированных, асимптотически плоских пространствах-временах. Однако реальная Вселенная расширяется, и её крупномасштабная структура описывается космологическими решениями уравнений Эйнштейна. Возникает задача согласовать локальные сильнополевые объекты — чёрные дыры — с глобальной динамикой расширяющегося космоса. Это приводит к необходимости изучения метрик, которые соединяют свойства решений типа Шварцшильда или Керра с космологическими моделями Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРВ).
Общий вид метрики ФЛРВ:
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2 ) \right], $$
где a(t) — масштабный фактор, а k = 0, ±1 определяет кривизну пространства. Именно это решение используется для описания расширяющейся Вселенной в рамках космологического принципа, предполагающего однородность и изотропию на больших масштабах.
Основная трудность при описании чёрных дыр в расширяющейся Вселенной состоит в том, что асимптотическая плоскость, используемая в стандартных решениях Шварцшильда или Керра, заменяется на космологический фон с динамическим масштабным фактором. Это означает, что:
Одним из первых подходов к включению космологического расширения в описание чёрной дыры является метрика Шварцшильда–де Ситтера (Котлера):
$$ ds^2 = - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} - \frac{\Lambda r^2}{3} \right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} - \frac{\Lambda r^2}{3} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$
Здесь Λ играет роль космологической постоянной, отвечающей за ускоренное расширение Вселенной. Такое решение демонстрирует наличие двух горизонтов:
При определённых значениях массы и Λ оба горизонта могут сливаться, образуя экстремальное состояние — так называемую чёрную дыру Нариаи.
Для моделирования чёрной дыры в нестационарной, реально расширяющейся Вселенной используется метрика МакВитти. Она была предложена как решение уравнений Эйнштейна с пылеобразным космологическим источником и локализованной массой:
$$ ds^2 = - \left( \frac{1 - \mu(t,r)}{1 + \mu(t,r)} \right)^2 c^2 dt^2 + (1 + \mu(t,r))^4 a^2(t) \left( dr^2 + r^2 d\Omega^2 \right), $$
где
$$ \mu(t,r) = \frac{GM}{2 c^2 a(t) r}. $$
Эта метрика сочетает свойства космологического расширения (через масштабный фактор a(t)) и локального гравитационного потенциала массы M. Важно, что в этом решении отсутствует поток материи к центру, и оно описывает чёрную дыру, «вмороженную» в расширяющийся космос.
В космологических решениях горизонты становятся функциями времени. Например, в метрике МакВитти радиус горизонта зависит не только от массы, но и от масштаба a(t). Это приводит к ряду эффектов:
Помимо сферически-симметричных решений, существуют и вращающиеся аналоги, учитывающие космологическую постоянную:
Структура горизонтов в этих случаях ещё более сложна: возможны внутренний, внешний, эргосфера и космологический горизонты.
Рассмотрение чёрных дыр в космологическом контексте имеет фундаментальное значение для нескольких направлений современной астрофизики:
Таким образом, изучение космологических решений с чёрными дырами позволяет объединить локальную физику сильных гравитационных полей и глобальную динамику Вселенной, выявляя глубокие взаимосвязи между астрофизикой и космологией.