Квантование полей на криволинейном пространстве-времени является фундаментальной областью современной теоретической физики, лежащей на стыке квантовой теории поля и общей теории относительности. Этот подход позволяет исследовать процессы, происходящие вблизи чёрных дыр, в ранней Вселенной, а также феномены, связанные с излучением Хокинга и энтропией горизонта.
В квантовой теории поля на криволинейном пространстве-времени пространство-время рассматривается как классический фон, задаваемый метрикой gμν(x), на котором развивается квантовое поле ϕ(x). Метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна:
Gμν + Λgμν = 8πGTμν,
где Gμν — тензор Эйнштейна, Λ — космологическая постоянная, а Tμν — тензор энергии-импульса материи. В рамках подхода «квантования на фоне» предполагается, что возмущения квантовых полей не изменяют значимо метрику — это так называемый приближённый классический фон.
Для скалярного поля ϕ(x) лагранжиан имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{1}{2} \xi R \phi^2, $$
где ∇μ — ковариантная производная, R — скалярная кривизна, а ξ — параметр не минимального взаимодействия. Уравнение движения получается из вариации лагранжиана:
(□g + m2 + ξR)ϕ(x) = 0,
где □g = gμν∇μ∇ν — д’Аламбера оператор в криволинейном пространстве-времени.
Для решения уравнения поля вводят разложение по модам:
ϕ(x) = ∑i(aiui(x) + ai†ui*(x)),
где ui(x) — ортонормированные решения уравнения Клейна–Гордона на данном фоне, а ai, ai† — операторы уничтожения и создания частиц. Ортонормированность определяется через ковариантную скалярную продукцию:
$$ (u_i, u_j) = - i \int_\Sigma d\Sigma^\mu \sqrt{-g} \left(u_i \nabla_\mu u_j^* - u_j^* \nabla_\mu u_i \right) = \delta_{ij}, $$
где Σ — пространственная гиперповерхность. Ключевой особенностью криволинейного пространства является неоднозначность выбора моды и, как следствие, понятия вакуума.
В отличие от плоского пространства, в криволинейном пространстве-времени нет уникального определения вакуума. Для наблюдателя, движущегося относительно фоновой метрики, вакуум одного наблюдателя может выглядеть как состоящий из частиц для другого наблюдателя. Этот эффект лежит в основе излучения Хокинга: на горизонте чёрной дыры разные определения вакуума приводят к появлению термального потока частиц на бесконечности:
$$ \langle 0_{\text{in}} | N_\omega | 0_{\text{in}} \rangle = \frac{1}{e^{\omega / T_H} - 1}, $$
где $T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G M k_B}$ — температура Хокинга, а Nω — оператор числа частиц с частотой ω.
Квантовые поля на криволинейном фоне порождают вакуумные флуктуации энергии, которые проявляются через тензор энергии-импульса:
⟨0|Tμν|0⟩ ≠ 0.
Эти флуктуации имеют критическое значение вблизи горизонта чёрной дыры, создавая эффекты, недоступные в классической теории. Для управления расходимостями применяется ренормализация тензора энергии-импульса, часто через метод точечной разделенности или адекватную регуляризацию по геодезическому расстоянию.
Ключевым инструментом анализа квантовых полей на криволинейном фоне является функция Грина, удовлетворяющая уравнению:
$$ \left( \Box_g + m^2 + \xi R \right) G(x, x') = \frac{\delta^{(4)}(x - x')}{\sqrt{-g}}. $$
Функции Грина позволяют вычислять кореляции поля, плотность энергии и другие наблюдаемые величины. Их асимптотическое поведение вблизи горизонта определяет термальные свойства излучения.
На горизонте чёрной дыры происходит особое разделение мод: внутренняя и внешняя части поля становятся практически независимыми. Квантовые эффекты, такие как параное образование частиц, описываются через биваккуумные состояния и приводят к термальной природе излучения Хокинга:
Эти наблюдаемые формируют основу квантовой термодинамики чёрных дыр, позволяя связывать классическую гравитацию с квантовой теорией поля и открывая путь к более полной теории квантовой гравитации.