В общей теории относительности основным математическим инструментом для описания гравитации служит метрический тензор. Именно он определяет геометрические и физические свойства пространства-времени, задавая длины, углы и интервал между событиями. Через метрический тензор выражаются все кривизны, геодезические линии и, в конечном счёте, динамика материи и излучения вблизи массивных объектов, включая чёрные дыры.
Вместо обычного евклидова расстояния, применимого в классической механике, в релятивистской физике вводится инвариантный интервал между двумя бесконечно близкими событиями:
ds2 = gμν dxμdxν,
где
Сигнатура метрического тензора чаще всего выбирается как (− + ++), что соответствует тому, что временная координата имеет иной знак по сравнению с пространственными.
Пример: для плоского пространства Минковского интервал имеет вид:
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2.
Здесь метрический тензор диагонален:
gμν = diag(−1, 1, 1, 1).
Переход от плоского пространства-времени к искривлённому требует введения понятий аффинной связности и символов Кристоффеля. Они определяются как:
$$ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \tfrac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right). $$
Хотя символы Кристоффеля не являются тензором, они играют ключевую роль в описании параллельного переноса и геодезических. Геодезическое уравнение записывается как:
$$ \frac{d^2 x^\lambda}{d\tau^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = 0, $$
где τ — собственное время. Это уравнение описывает траектории свободного движения частиц в гравитационном поле, которое является проявлением геометрии.
Главным объектом, отражающим искривление пространства-времени, является тензор Римана:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ.
Смысл этого тензора заключается в том, что он показывает, насколько вектор меняет своё направление после параллельного переноса по замкнутому контуру. В плоском пространстве (Минковского) тензор Римана равен нулю, тогда как вблизи чёрной дыры его компоненты становятся огромными.
Из тензора Римана получают более простые объекты:
Тензор Риччи
Rμν = R μλνλ,
который описывает локальное сжатие или растяжение объёмов в пространстве-времени.
Скаляр кривизны
R = gμνRμν,
представляющий собой обобщённое мерило искривлённости.
Эти объекты используются в уравнениях Эйнштейна для описания связи геометрии пространства-времени с материей и энергией.
Для описания чёрных дыр вводятся специальные решения уравнений Эйнштейна с различными метриками:
Метрика Шварцшильда (невращающаяся, беззарядная чёрная дыра):
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2, $$
где dΩ2 = dθ2 + sin2θ dϕ2.
Горизонт событий находится при $r_s = \frac{2GM}{c^2}$.
Метрика Рейснера–Нордстрёма (заряжённая чёрная дыра):
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{GQ^2}{c^4 r^2}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{GQ^2}{c^4 r^2}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$
Метрика Керра (вращающаяся чёрная дыра): Она гораздо сложнее и зависит от массы M и момента вращения a. В этом случае метрика приобретает офф-диагональные элементы, отвечающие за эффект “затягивания инерциальных систем”.
Кривизна пространства-времени вблизи чёрных дыр проявляется в виде:
Все эти эффекты строго выражаются через компоненты метрического тензора и связанные с ним тензоры кривизны.