Общая постановка задачи. После нахождения решений Шварцшильда, Керра и Райсснера–Нордстрёма стало ясно, что уравнения Эйнштейна допускают семейство решений, описывающих чёрные дыры с различными физическими параметрами: массой, зарядом и угловым моментом. Наиболее общим решением, объединяющим все эти характеристики, является метрика Керра–Ньюмена, представляющая собой стационарное, осесимметричное решение для вращающейся заряженной чёрной дыры. Оно является решением уравнений Эйнштейна–Максвелла и включает электромагнитное поле.
В координатах Бойера–Линдквиста метрика Керра–Ньюмена имеет вид:
$$ ds^2 = -\frac{\Delta}{\rho^2}(dt - a\sin^2\theta\, d\varphi)^2 + \frac{\sin^2\theta}{\rho^2}\big[(r^2 + a^2)d\varphi - a dt\big]^2 + \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2 + \rho^2 d\theta^2 , $$
где
Δ = r2 − 2Mr + a2 + Q2,
ρ2 = r2 + a2cos2θ,
а параметры:
Для электромагнитного потенциала решение сопровождается векторным потенциалом:
$$ A_\mu dx^\mu = -\frac{Qr}{\rho^2}(dt - a\sin^2\theta\, d\varphi). $$
Условие Δ = 0 определяет радиусы горизонтов:
$$ r_\pm = M \pm \sqrt{M^2 - a^2 - Q^2}. $$
При условии
M2 ≥ a2 + Q2
существует чёрная дыра с двумя горизонтами. Если же
M2 < a2 + Q2,
то горизонты исчезают, и возникает голая сингулярность, что нарушает гипотезу космической цензуры.
Сингулярность в метрике Керра–Ньюмена имеет форму кольца радиуса a в экваториальной плоскости (θ = π/2), где ρ2 = 0.
Особенностью вращающихся чёрных дыр является наличие эргосферы — области между поверхностью статичности и горизонтом событий.
Граница эргосферы определяется условием:
$$ g_{tt} = 0 \quad \Rightarrow \quad r_{\text{erg}}(\theta) = M + \sqrt{M^2 - a^2 \cos^2\theta - Q^2}. $$
В этой области невозможно оставаться в покое относительно удалённого наблюдателя, частицы вынуждены вращаться вместе с чёрной дырой. Эргосфера играет ключевую роль в процессах извлечения энергии, таких как механизм Пенроуза.
Таким образом, решение Керра–Ньюмена является наиболее общим из стационарных решений для чёрных дыр в рамках общей теории относительности.
1. Перетаскивание инерциальных систем. Вблизи вращающейся чёрной дыры происходит эффект Лензе–Тирринга: локальные системы отсчёта увлекаются вращением. Этот эффект выражен тем сильнее, чем ближе частица к горизонту и чем больше a.
2. Возможность извлечения энергии. Эргосфера позволяет теоретически забирать часть энергии вращения. Если частица распадается в эргосфере на две, то одна из них может упасть за горизонт с отрицательной энергией относительно удалённого наблюдателя, а вторая улететь наружу с большей энергией, чем имела исходная частица. Это и есть механизм Пенроуза.
3. Электромагнитные процессы. Заряженные вращающиеся чёрные дыры способны индуцировать сильные электромагнитные поля. На астрофизическом уровне такие объекты рассматриваются как потенциальные источники джетов и ускорителей космических частиц.
Орбиты вблизи метрики Керра–Ньюмена отличаются сложностью. Наиболее интересна внутренняя устойчивая круговая орбита (ISCO), которая зависит от параметров a и Q. Чем сильнее вращение и заряд, тем ближе к горизонту располагается ISCO. Это напрямую связано с процессами аккреции и формированием излучения от дисков вокруг чёрных дыр.
Внутри внутреннего горизонта r− метрика допускает возможность существования областей с нарушением причинности — там могут возникать замкнутые времениподобные линии. Эти области не видимы для внешнего наблюдателя, но играют важную роль в математическом анализе решения.