В случае вакуумного сферически-симметричного распределения массы решение уравнений Эйнштейна принимает вид метрики Шварцшильда. В сферических координатах (t, r, θ, φ) она записывается как
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, d\varphi^2. $$
Здесь M — масса центрального объекта, G — гравитационная постоянная, c — скорость света. Величина
$$ r_s = \frac{2GM}{c^2} $$
называется радиусом Шварцшильда и играет ключевую роль в понимании структуры пространства-времени вблизи массивных тел.
Метрика имеет два особых значения координаты r:
При r = rs: коэффициент при dt2 обращается в ноль, а при dr2 — в бесконечность. На первый взгляд это сингулярность, но она носит координатный характер и может быть устранена переходом к другим координатам (например, Эддингтона–Финкельштейна или Крускала–Секереша). Физически этот радиус соответствует горизонту событий.
При r = 0: в этом случае кривизна пространства-времени стремится к бесконечности, что указывает на физическую (неустранимую) сингулярность. Именно в центре чёрной дыры сосредоточено «бесконечное» искривление.
Горизонт событий находится на радиусе r = rs. Его физическая роль заключается в том, что световые и материальные частицы, достигшие этого радиуса изнутри, не могут больше вернуться наружу. Причина — изменение структуры световых конусов: внутри горизонта направление, соответствующее уменьшению r, становится единственным возможным «будущим» для любых траекторий.
Таким образом, горизонт событий представляет собой одностороннюю границу, отделяющую внешний наблюдаемый мир от области, из которой не поступает никакая информация.
Метрика Шварцшильда предсказывает, что время течёт по-разному для наблюдателей вблизи массивного объекта и вдали от него. Для неподвижного наблюдателя на расстоянии r собственное время dτ связано с координатным временем dt соотношением
$$ d\tau = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \, dt. $$
Чем ближе наблюдатель к горизонту событий, тем сильнее замедляется его собственное время относительно наблюдателя на «бесконечности». При r → rs замедление становится столь сильным, что внешний наблюдатель никогда не увидит падение тела непосредственно в горизонт — объект лишь асимптотически приближается к этой границе.
Метрика Шварцшильда определяет динамику как световых, так и массивных частиц:
Световые лучи могут иметь нестабильные круговые орбиты при r = 1.5 rs. Эта область называется фотонной сферой. Малейшее возмущение приведёт либо к падению внутрь горизонта, либо к уходу наружу.
Массивные частицы могут находиться на устойчивых орбитах лишь при r > 3 rs. В пределах этой границы круговые орбиты становятся нестабильными, а при r ≤ 1.5 rs частица неизбежно падает в чёрную дыру.
Эффективный потенциал движения позволяет интерпретировать траектории в терминах классической механики с поправкой на искривление пространства-времени.
Гравитационное красное смещение является прямым следствием метрики Шварцшильда. Частота сигнала, испускаемого с радиуса r и зафиксированная удалённым наблюдателем, уменьшается по закону
$$ \nu_\infty = \nu_r \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}, $$
где νr — частота вблизи источника. При приближении к горизонту событий (r → rs) наблюдаемая частота стремится к нулю.
Метрика показывает, что пространство вблизи чёрной дыры искривлено не только во временной, но и в пространственной части. Коэффициент при dr2
$$ \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} $$
указывает, что реальное расстояние между двумя сферами радиуса r1 и r2 больше, чем это предполагалось бы в евклидовой геометрии. Визуально это можно представить в виде «воронки» или «втянутого» пространства.
Метрика Шварцшильда — фундаментальное решение общей теории относительности, показывающее, как массивное тело искривляет пространство и время. Её физическая интерпретация сводится к следующим положениям:
Метрика Шварцшильда является первым и простейшим примером точного решения уравнений Эйнштейна, но её физическая глубина остаётся краеугольным камнем всей теории чёрных дыр.