Движение пробных частиц и фотонов в пространстве-времени чёрной дыры описывается геодезическими линиями метрики, определяемыми уравнением Эйнштейна–Гамильтона–Якоби или эквивалентной системой уравнений Лагранжа. В силу симметрий метрик Шварцшильда, Керра и Керра–Ньюмена, в задаче сохраняются определённые интегралы движения:
Эти интегралы существенно упрощают исследование орбитальной структуры и позволяют свести задачу к одномерному эффективному движению в радиальном направлении с введением эффективного потенциала.
Эффективный потенциал описывает возможные типы движения частиц и фотонов. Его форма зависит от параметров чёрной дыры (массы, углового момента, электрического заряда) и характеристик частицы (масса, энергия, угловой момент).
Для массивных частиц возможны:
Для безмассовых частиц (фотонов) спектр движений иной:
Особое значение имеет радиус фотонной сферы. Для метрики Шварцшильда он равен
$$ r = \frac{3GM}{c^2}. $$
На этой сфере возможны круговые орбиты фотонов. Однако такие орбиты являются неустойчивыми: малейшее возмущение приведёт к тому, что фотон либо упадёт в чёрную дыру, либо уйдёт на бесконечность.
Фотонная сфера играет ключевую роль в формировании гравитационного линзирования и структуры «тени» чёрной дыры.
Для массивных частиц возможны как устойчивые, так и неустойчивые круговые орбиты.
$$ r_{\text{ISCO}} = \frac{6GM}{c^2}. $$
Вращение чёрной дыры существенно изменяет структуру орбит. Метрика Керра позволяет существование проградных и ретроградных орбит в зависимости от направления движения частицы относительно вращения чёрной дыры.
$$ r_{\text{ISCO}} = \frac{GM}{c^2} $$
для экстремальной Kerr-чёрной дыры (спин a = GM/c2).
Одним из наиболее характерных эффектов является прецессия перицентра орбитальных движений. В отличие от ньютоновской механики, где орбиты замкнуты, в общей теории относительности перицентр орбиты сдвигается после каждого оборота. Для массивных тел, таких как планеты, этот эффект невелик, но вблизи чёрной дыры он становится доминирующим.
Для метрики Керра возникает дополнительный эффект — влечение инерциальных систем (Lense–Thirring precession), при котором вся орбита испытывает вращение вокруг оси чёрной дыры.
Фотонные траектории вокруг чёрных дыр формируют сложную картину гравитационного линзирования. Вблизи фотонной сферы возможны траектории, совершающие множество оборотов вокруг чёрной дыры перед тем, как выйти наружу. Именно такие траектории приводят к образованию множественных изображений объектов, находящихся за чёрной дырой, а также к формированию тонкого яркого кольца на краю «тени» чёрной дыры, впервые наблюдённого коллаборацией EHT.
Динамика частиц и фотонов в окрестности чёрной дыры демонстрирует богатую картину устойчивых и неустойчивых режимов. Вращение чёрной дыры усиливает нелинейные эффекты и может приводить к хаотическим траекториям для частиц с ненулевым наклонением к экваториальной плоскости. Это делает задачу о движении частиц вокруг реальных астрофизических чёрных дыр крайне сложной и важной для моделирования аккреционных процессов.