Горизонт событий черной дыры представляет собой границу, через которую никакая материя и излучение не могут вернуться во внешний мир. Для сферически симметричных черных дыр Шварцшильда радиус горизонта определяется выражением:
$$ r_s = \frac{2GM}{c^2}, $$
где G — гравитационная постоянная, M — масса черной дыры, c — скорость света. Площадь горизонта A для такой черной дыры вычисляется по формуле:
$$ A = 4\pi r_s^2 = 16\pi \frac{G^2 M^2}{c^4}. $$
Для вращающихся (Керровских) черных дыр выражение площади становится более сложным и зависит от углового момента J:
$$ A = 8\pi \frac{G^2}{c^4} \left( M^2 + \sqrt{M^4 - \frac{J^2 c^2}{G^2}} \right). $$
Площадь горизонта играет фундаментальную роль в термодинамике черных дыр, являясь ключевым параметром, определяющим их энтропию.
Одна из центральных идей механики черных дыр — это закон Хокинга о неубывающей площади горизонта. Он утверждает, что при любой классической эволюции черной дыры площадь горизонта не может уменьшаться:
δA ≥ 0.
Этот закон аналогичен второму закону термодинамики для энтропии: изолированная система не может спонтанно уменьшить свою энтропию. Физический смысл закона заключается в том, что при слиянии двух черных дыр или поглощении материи, площадь новой черной дыры всегда больше суммы площадей исходных:
Aфинал ≥ A1 + A2.
Эта аналогия послужила основой для введения термодинамической интерпретации площади горизонта.
Явление, предложенное Дж. Бекенштейном, связывает площадь горизонта с энтропией черной дыры S. Формула Бекенштейна-Хокинга имеет вид:
$$ S = \frac{k_B c^3}{4 G \hbar} A, $$
где kB — постоянная Больцмана, ℏ — редуцированная постоянная Планка. Эта зависимость показывает, что энтропия пропорциональна площади, а не объему, что является уникальной особенностью гравитационных систем и связано с принципом голографии.
Для черной дыры Шварцшильда с массой M энтропия выражается как:
$$ S = \frac{4 \pi k_B G M^2}{\hbar c}. $$
Ключевой вывод здесь в том, что черная дыра — это объект с максимально возможной энтропией для данной массы и размера, что делает её квинтэссенцией термодинамического хаоса в ограниченном объёме.
Хокинг показал, что черные дыры излучают как абсолютно черные тела с температурой:
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G k_B M}. $$
Это приводит к полному формализму термодинамики черных дыр, включающему первый закон:
dM = THdS + ΩHdJ + ΦHdQ,
где ΩH — угловая скорость горизонта, J — угловой момент, ΦH — электростатический потенциал, Q — заряд. В частности, первый член связывает изменение массы с изменением энтропии и температуры, демонстрируя глубокую связь между гравитацией и термодинамикой.
Пропорциональность энтропии площади горизонта подтолкнула к формулировке принципа голографии, согласно которому информация о физических степенях свободы внутри черной дыры кодируется на её поверхности. Квантовая теория поля в кривом пространстве предсказывает, что мелкомасштабные флуктуации приводят к излучению Хокинга и медленному уменьшению массы и площади, что становится квантовым исключением из классического закона возрастания площади.
Эти результаты создают фундамент для современной теории черных дыр, связывая классическую геометрию горизонта с квантовыми эффектами, термодинамикой и информацией.
Эта взаимосвязь геометрии, термодинамики и квантовой механики делает черные дыры уникальной лабораторией для изучения фундаментальных законов природы.