Чёрные дыры типа Райсснера-Нордстрёма (РН) описываются решениями уравнений Эйнштейна для электромагнитного поля в вакууме. Метрика РН в стандартных координатах Шварцшильда имеет вид:
ds2 = −f(r) dt2 + f(r)−1 dr2 + r2(dθ2 + sin2θ dϕ2),
где
$$ f(r) = 1 - \frac{2GM}{r} + \frac{G Q^2}{r^2}. $$
Здесь M — масса чёрной дыры, Q — её электрический заряд, G — гравитационная постоянная.
Горизонты задаются корнями уравнения f(r) = 0:
$$ r_\pm = GM \pm \sqrt{(GM)^2 - (G Q)^2}. $$
Для экстремальной дыры выполняется Q = M (в геометрических единицах G = 1), при этом r+ = r− = GM. В случае почти экстремальной дыры Q ≲ M, оба горизонта существуют, но находятся близко друг к другу:
r+ − r− = ϵ ≪ r+.
Этот малый параметр ϵ играет ключевую роль в динамике полей и квантовых эффектов.
Поверхностная гравитация κ на внешнем горизонте определяется как
$$ \kappa = \frac{r_+ - r_-}{2 r_+^2}. $$
Для почти экстремальной дыры ϵ → 0, следовательно, κ → 0. Это означает, что температура Хокинга
$$ T_H = \frac{\hbar \kappa}{2 \pi} \sim \frac{\hbar \epsilon}{4 \pi r_+^2} $$
становится крайне малой. Практически экстремальная чёрная дыра почти не излучает термально, что сильно влияет на процессы квантового испарения.
Вблизи горизонта r ≈ r+ полезно использовать координату:
r = r+ + ρ, ρ ≪ r+.
Разложение функции f(r) в малом ρ даёт линейный вид:
$$ f(r) \approx \frac{r_+ - r_-}{r_+^2} \rho = 2 \kappa \rho. $$
Метрика в окрестности горизонта становится близкой к метрике Риндейка:
$$ ds^2 \approx - 2 \kappa \rho\, dt^2 + \frac{d\rho^2}{2 \kappa \rho} + r_+^2 d\Omega^2. $$
Это ключевой инструмент для анализа квантовых процессов в почти экстремальных дырах и для исследования адекватных координат при расчётах.
Геодезические частицы и фотоны вблизи горизонта подвержены сильной гравитационной редукции. Энергетическое условие для радиальной части движения частицы массы m с энергией E и нулевым угловым моментом:
$$ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = E^2 - f(r) m^2. $$
При почти экстремальной конфигурации f(r) ≪ 1 вблизи горизонта, скорость радиального падения малой частицы относительно локального наблюдателя становится сильно замедленной, что приводит к эффекту “замороженности” времени на внешнем горизонте.
Почти экстремальные дыры обладают специфическими термодинамическими свойствами:
$$ S = \frac{k_B c^3}{4 G \hbar} 4 \pi r_+^2. $$
Малая температура TH ∝ ϵ → 0 делает процесс теплового обмена крайне медленным, практически запрещая полное испарение.
Квазистационарные процессы можно описывать как изменения параметров M, Q, при которых r+ − r− ∼ const ≪ r+.
Вблизи почти экстремального горизонта поле Клейна-Гордона (скалярное поле) подчиняется уравнению:
$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left(\sqrt{-g} g^{\mu\nu} \partial_\nu \Phi \right) = 0. $$
Разложение по сферам Ylm(θ, ϕ) приводит к эффективному одномерному уравнению:
$$ \frac{d^2 \psi}{dr_*^2} + (\omega^2 - V_l(r)) \psi = 0, $$
где dr* = dr/f(r) — “тартальская” координата (tortoise coordinate). Почти экстремальная конфигурация увеличивает расстояние до горизонта в r*, создавая длинный “шлейф” потенциала, что сильно влияет на рассеяние волн и квантовое туннелирование.
$$ z \sim \frac{1}{\sqrt{f(r)}} \sim \epsilon^{-1/2}. $$
Для r < r− метрика сохраняет характерную форму с внутренним горизонтом. Почти экстремальная дыра имеет очень узкий интервал r+ − r−, что вызывает: