Последняя устойчивая круговая орбита

В теории относительности и физике чёрных дыр важнейшую роль играет понятие последней устойчивой круговой орбиты (Innermost Stable Circular Orbit, ISCO). Эта орбита отделяет область устойчивых движений пробных частиц и аккреционного вещества от зоны, где стабильное обращение вокруг чёрной дыры становится невозможным. Попадание внутрь этой границы ведёт к неминуемому падению в чёрную дыру.

Основные физические предпосылки

Рассмотрение орбит проводится на фоне кривизны пространства-времени, описываемой метрикой чёрной дыры. Для невращающейся чёрной дыры применима метрика Шварцшильда, а для вращающейся — метрика Керра. В отличие от ньютоновской механики, где круговые орбиты могут существовать на любом расстоянии (при условии ненулевой угловой скорости), в общей теории относительности существует строгий предел: ниже некоторого радиуса орбита становится неустойчивой.

Ключевые моменты:

  • Устойчивая орбита — малая радиальная возмущающая сила не приводит к падению частицы, она возвращается на прежнюю траекторию.
  • Неустойчивая орбита — малейшее возмущение уводит частицу либо внутрь горизонта, либо наружу.
  • ISCO — граничная орбита, при переходе через которую устойчивость обращений исчезает.

Последняя устойчивая орбита в метрике Шварцшильда

Для невращающейся чёрной дыры радиус ISCO можно вычислить аналитически.

  • Радиус Шварцшильда определяется как:

    $$ r_s = \frac{2GM}{c^2}. $$

  • Радиус последней устойчивой круговой орбиты:

    $$ r_{\text{ISCO}} = 3 r_s = \frac{6GM}{c^2}. $$

Таким образом, для чёрной дыры солнечной массы M = M⊙, где rs ≈ 3 км, получаем:

rISCO ≈ 18 км.

Это означает, что ни одна частица, движущаяся по круговой траектории, не может стабильно удерживаться ближе, чем на шести гравитационных радиусах от центра.

Орбитальная динамика у вращающихся чёрных дыр

В случае вращающейся чёрной дыры (метрика Керра) ситуация становится сложнее. Здесь поведение орбит определяется не только массой, но и параметром безразмерного спина:

$$ a = \frac{Jc}{GM^2}, \quad 0 \leq a \leq 1, $$

где J — момент импульса чёрной дыры.

Вращение чёрной дыры изменяет геометрию пространства-времени, что приводит к эффекту «захвата» орбитального движения — фрейм-дрэга. Для пробной частицы вблизи чёрной дыры это выражается в том, что:

  • орбиты со направленным вращением (проградные) оказываются ближе к горизонту,
  • орбиты против вращения (ретроградные) отодвигаются на большее расстояние.

Радиусы ISCO в метрике Керра определяются уравнениями:

$$ r_{\text{ISCO}} = \frac{GM}{c^2} \left[ 3 + Z_2 \mp \sqrt{(3 - Z_1)(3 + Z_1 + 2Z_2)} \right], $$

где

Z1 = 1 + (1 − a2)1/3[(1 + a)1/3 + (1 − a)1/3],

$$ Z_2 = \sqrt{3a^2 + Z_1^2}. $$

Знак «−» соответствует проградным орбитам, «+» — ретроградным.

Примеры:

  • При a = 0 получаем rISCO = 6GM/c2 (метрика Шварцшильда).

  • При максимальном вращении a = 1:

    • проградная орбита находится на rISCO = GM/c2, т.е. прямо у горизонта;
    • ретроградная орбита — на rISCO = 9GM/c2.

Энергетические характеристики ISCO

Энергия частицы на ISCO имеет фундаментальное значение, так как она определяет эффективность аккреции вещества. Потенциальная энергия, выделяемая при падении с бесконечности до ISCO, частично преобразуется в излучение.

Для невращающейся чёрной дыры:

  • удельная энергия частицы на ISCO равна

    $$ E_{\text{ISCO}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} mc^2 \approx 0.9428 mc^2, $$

что соответствует эффективности излучения η ≈ 5.7%.

Для вращающихся чёрных дыр:

  • при максимальном проградном вращении эффективность достигает η ≈ 42%,
  • при ретроградных орбитах — снижается до η ≈ 3.8%.

Эти различия объясняют, почему аккреционные диски вокруг быстрых вращающихся чёрных дыр являются мощнейшими источниками излучения во Вселенной.

Связь с астрофизическими наблюдениями

ISCO имеет прямое отношение к наблюдаемым явлениям:

  • Аккреционные диски вокруг чёрных дыр имеют внутреннюю границу, которая совпадает с ISCO. Эта граница определяет спектральные свойства излучения.
  • Квазипериодические осцилляции (QPOs) в рентгеновских бинарных системах интерпретируются как колебания газа вблизи ISCO.
  • Релятивистские линии железа (Fe Kα), наблюдаемые в спектрах активных ядер галактик, формируются в областях диска, простирающихся до ISCO.
  • Наблюдение положения внутренней границы аккреционного диска позволяет определять спин чёрной дыры.
Оглавление