Постньютоновские приближения

Постньютоновские (ПН) приближения представляют собой систематический метод решения уравнений общей теории относительности (ОТО) в слабополевых и медленно движущихся системах, таких как бинарные звёздные системы, компактные объекты или орбиты планет. Метод позволяет постепенно учитывать релятивистские эффекты как поправки к классической ньютоновской механике, что особенно важно для описания гравитационного излучения и эволюции орбитальных систем.

Основная идея ПН-приближения

ПН-приближение базируется на разложении метрики gμν и связанных с ней величин в степени малости параметра ϵ ∼ v/c, где v — характерная скорость тел, а c — скорость света. В таком разложении:

gμν = ημν + hμν,  |hμν| ≪ 1

где ημν — метрика Минковского, а hμν — малая поправка, учитывающая гравитационное поле.

Каждый порядок ПН-приближения соответствует определённой степени точности по v/c:

  • 0ПН (ньютоновский уровень): классическая ньютоновская гравитация.
  • 1ПН (постньютоновский первый порядок): включает эффекты, пропорциональные (v/c)2, такие как прецессия перицентра.
  • 2ПН и выше: более точные поправки, включающие взаимодействия с гравитационным полем через нелинейные эффекты.

Разложение уравнений движения

Для системы из N тел массы ma уравнения движения на 1ПН уровне имеют вид:

$$ \frac{d^2 \mathbf{r}_a}{dt^2} = - \sum_{b \neq a} G m_b \frac{\mathbf{r}_a - \mathbf{r}_b}{|\mathbf{r}_a - \mathbf{r}_b|^3} + \mathbf{a}_a^{\text{1ПН}}, $$

где первый член — ньютоновская гравитация, а aa1ПН — релятивистская поправка, включающая:

  • кинетическую энергию тел;
  • взаимодействие гравитационного потенциала с энергией тел;
  • нелинейные гравитационные эффекты.

Конкретно для двух тел масса m1 и m2 ускорение первого тела на 1ПН уровне:

$$ \mathbf{a}_1^{\text{1ПН}} = \frac{G m_2}{r^2} \Bigg\{ \mathbf{n} \Big[ -v_1^2 - 2v_2^2 + 4 \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 + \frac{3}{2} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2)^2 + 5 \frac{G m_1}{r} + 4 \frac{G m_2}{r} \Big] - (\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2) (4 \mathbf{n} \cdot (\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2)) \Bigg\}, $$

где r = r1 − r2, r = |r|, $ = /r $, v1, v2 — скорости тел.

Энергия и импульс в ПН-приближении

Энергия системы на 1ПН уровне включает не только классическую кинетическую и потенциальную энергию, но и релятивистские поправки:

$$ E = \sum_a \frac{1}{2} m_a v_a^2 - \sum_{a

где

$$ E^{\text{1ПН}} = \sum_a \frac{3}{8} m_a \frac{v_a^4}{c^2} + \sum_{a

Аналогично, релятивистские поправки вводятся и в момент импульса, что важно для изучения прецессий орбит и взаимодействий спинов.

Применение к системам компактных объектов

Для чёрных дыр и нейтронных звёзд ПН-приближение позволяет:

  • рассчитать прецессию перицентра, наблюдаемую в бинарных системах;
  • определить фазу и амплитуду гравитационных волн, испускаемых двойными компактными объектами;
  • моделировать слияние чёрных дыр до того момента, когда поле становится сверхсильным, и требуется численная относительность.

Особо важны эффекты спина и спин-орбитального взаимодействия, которые проявляются на 1.5–2ПН уровнях и влияют на поляризацию и форму гравитационного сигнала.

Ограничения метода

  • ПН-приближения корректны только при v ≪ c и слабых полях GM/(rc2) ≪ 1.
  • На стадии слияния чёрных дыр и нейтронных звёзд метод теряет точность; требуется численная интеграция полных уравнений Эйнштейна.
  • Высшие порядки ПН-разложения становятся всё более громоздкими, что требует автоматизированных символьных вычислений.

Ключевые моменты

  • ПН-приближения — это мощный инструмент для изучения систем, где релятивистские эффекты малы, но измеримы.
  • Основная идея — разложение метрики и уравнений движения в степени малости v/c.
  • На практике используются до 3–4ПН порядка для высокоточных предсказаний гравитационного излучения.
  • Позволяет соединять классическую ньютоновскую механику с общей теорией относительности, обеспечивая плавный переход между ними.
Оглавление