Принцип эквивалентности является краеугольным камнем общей теории относительности и играет фундаментальную роль в понимании физики чёрных дыр. В слабой формулировке он утверждает, что все тела, независимо от их массы, состава или структуры, падают в гравитационном поле с одинаковым ускорением, если пренебречь влиянием других сил. Эта форма принципа экспериментально подтверждается с высокой точностью, начиная с опытов Галилея и до современных лазерных измерений движения спутников.
Сильный принцип эквивалентности расширяет эту идею: локально невозможно отличить гравитационное поле от системы отсчёта, движущейся с ускорением. Другими словами, свободно падающий наблюдатель не ощущает гравитационного воздействия — его локальная физика совпадает с физикой в инерциальной системе специальной теории относительности. Именно это утверждение позволило Эйнштейну построить геометрическую интерпретацию гравитации.
Движение частицы, находящейся под действием только гравитации, описывается в терминах геодезических линий кривого пространства-времени. Геодезическая — это обобщение понятия «прямой линии» из евклидовой геометрии на многообразие с метрикой. Частица, движущаяся по геодезической, не испытывает никакого ускорения в собственной системе отсчёта.
Уравнение геодезической линии выводится из вариационного принципа, применяемого к действию, определяемому длиной мировой линии:
$$ S = \int ds = \int \sqrt{g_{\mu\nu} \, dx^\mu dx^\nu}, $$
где gμν — метрический тензор пространства-времени. Минимизация этого действия приводит к уравнению:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0, $$
где Γνσμ — символы Кристоффеля, определяющие «связность» многообразия, а τ — собственное время. Это уравнение отражает закон движения частиц в кривом пространстве-времени.
Вблизи чёрных дыр геодезические приобретают особенно наглядное значение. Метрика Шварцшильда, описывающая невращающуюся чёрную дыру, имеет вид:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2). $$
В этой метрике геодезические делятся на времеподобные (траектории частиц с массой), светоподобные (траектории фотонов) и пространственноподобные (гипотетические траектории вне причинной структуры).
Световые геодезические определяют так называемую фотонную сферу на расстоянии r = 3GM/c2, где фотоны могут двигаться по замкнутым орбитам. Времеподобные геодезические описывают орбиты частиц, которые могут быть круговыми, эллиптическими или спиральными, в зависимости от энергии и углового момента. При пересечении горизонта событий r = 2GM/c2 все геодезические неумолимо направляются к сингулярности.
Сильный принцип эквивалентности утверждает, что в любой достаточно малой окрестности вдоль геодезической можно ввести локальные координаты, в которых метрика приближается к метрике Минковского, а символы Кристоффеля исчезают. Это означает, что свободно падающий наблюдатель, пересекающий горизонт событий чёрной дыры, не замечает никаких «аномалий» в момент прохождения горизонта: законы физики для него остаются теми же, что и вдали от чёрной дыры.
Именно этот факт позволяет утверждать, что горизонт событий не является физической поверхностью в пространстве-времени, а лишь координатной границей, связанной с причинной структурой.
Несмотря на то что локально гравитацию можно устранить, различие траекторий двух близких геодезических линий проявляется через тензор кривизны Римана. Уравнение геодезического отклонения имеет вид:
$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = - R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu \xi^\rho u^\sigma, $$
где ξμ — вектор отклонения, uν — четырёхскорость частицы, а R νρσμ — тензор Римана.
Вблизи чёрной дыры это выражается в сильных приливных силах. Наблюдатель, приближающийся к сингулярности, испытывает растяжение вдоль радиального направления и сжатие в поперечных направлениях. Эти эффекты, известные как «спагеттификация», непосредственно вытекают из уравнения геодезического отклонения.
Анализ геодезических позволяет построить полное понимание причинной структуры чёрных дыр. В частности, диаграммы Пенроуза основаны именно на поведении геодезических линий при приближении к горизонту и к сингулярности. Они демонстрируют, что горизонт событий является границей области, из которой никакая светоподобная геодезическая не может выйти наружу.
Таким образом, принцип эквивалентности и теория геодезических не только формируют основу общей теории относительности, но и дают математический язык для описания движения частиц и света в экстремальных условиях гравитации чёрных дыр.