В рамках общей теории относительности (ОТО) гравитация описывается как геометрия пространства-времени, управляемая уравнениями Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
Эти уравнения хорошо описывают макроскопические явления, такие как орбиты планет, гравитационные линзы и динамику черных дыр. Однако при переходе к микроскопическим масштабам возникают фундаментальные ограничения. В частности, ОТО является классической теорией, в которой энергия и импульс материи описываются детерминированно, без учета квантовой неопределенности.
Ключевой момент: Простое наложение квантовых законов на классические уравнения Эйнштейна приводит к сингулярностям и бесконечностям, особенно вблизи сингулярностей черных дыр и при ранней фазе Вселенной.
Каноническое квантование гравитации начинается с разложения метрики gμν на фоновую метрику ḡμν и возмущение hμν:
gμν = ḡμν + hμν.
Классические уравнения преобразуются в гамильтонов формализм с введением сопряженных переменных (hij, πij). Главной проблемой становится наличие первичных и вторичных ограничений, которые отражают инвариантность теории относительно диффеоморфизмов:
ℋ⟂ ≈ 0, ℋi ≈ 0.
При квантовании эти ограничения переходят в операторы, действующие на волновую функциональную Ψ[hij]:
$$ \hat{\mathcal{H}}_\perp \Psi[h_{ij}] = 0, \quad \hat{\mathcal{H}}_i \Psi[h_{ij}] = 0. $$
Это приводит к уравнению Вильсона-Дирака–Вейля–Джонса (Wheeler–DeWitt equation):
$$ \hat{\mathcal{H}}_\perp \Psi[h_{ij}] = 0. $$
Проблема времени: В каноническом подходе временная переменная исчезает из фундаментального уравнения. Волновая функция описывает не эволюцию во времени, а статическое распределение геометрий. Это создает концептуальный разрыв с обычной квантовой механикой, где время является параметром эволюции.
Другой подход изучает квантовые поля на фиксированном фоне кривого пространства-времени, например, вокруг черной дыры. В этом контексте появляются ключевые эффекты:
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G M k_B}. $$
$$ S_{BH} = \frac{k_B c^3 A}{4 G \hbar}. $$
Эти результаты показывают, что квантовые эффекты гравитации проявляются на горизонте событий, но полное квантовое описание метрики все еще отсутствует.
Прямое квантование метрики через методы квантовой теории поля приводит к непереносящимся ультрафиолетовым расходимостям. В отличие от квантовой электродинамики, где ренормализация позволяет убрать бесконечности, гравитация в стандартном подходе оказывается неренормируемой:
число членов в разложении растет с каждым порядком возмущения, и новые бесконечности нельзя убрать конечным числом контртермов.
Это ключевая причина поиска альтернативных подходов, таких как:
Петлевая квантовая гравитация основывается на представлении геометрических переменных через холономии и флюксные операторы. Основные идеи:
$$ \hat{A} |s\rangle = 8\pi \gamma l_P^2 \sum_i \sqrt{j_i(j_i+1)} |s\rangle $$
где lP — планковская длина, ji — спиновые числа на ребрах графа.
Фон-независимость: теория не предполагает фиксированного пространства-времени, а строится на суперпозиции всех возможных квантованных геометрий.
Импликации для черных дыр: дискретизация площади горизонта может объяснить микроскопическую природу энтропии Бекенштейна.
Даже в петлевой квантовой гравитации остается несколько фундаментальных задач:
Ключевой вывод: Проблема квантования гравитации не имеет универсального решения, но разные подходы демонстрируют согласованность с известными квантовыми эффектами черных дыр, указывая на необходимость пересмотра классических понятий пространства и времени на планковских масштабах.