Решение Керра представляет собой одно из важнейших точных решений уравнений Эйнштейна, описывающее геометрию пространства-времени вокруг вращающейся невзаряженной чёрной дыры. В отличие от метрики Шварцшильда, которая характеризует статический сферически-симметричный объект, решение Керра учитывает угловой момент. Оно было найдено Роем Керром в 1963 году и стало фундаментом для современной астрофизики релятивистских объектов.
Метрика Керра записывается в боярлинских координатах (t, r, θ, φ):
$$ ds^2 = - \left(1 - \frac{2Mr}{\rho^2}\right) dt^2 - \frac{4Mar \sin^2 \theta}{\rho^2} dt \, d\varphi + \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2Ma^2 r \sin^2 \theta}{\rho^2}\right) \sin^2 \theta \, d\varphi^2, $$
где вводятся обозначения
$$ \rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2 \theta, \quad \Delta = r^2 - 2Mr + a^2, \quad a = \frac{J}{M}, $$
и M — масса чёрной дыры, J — её угловой момент.
Особенность метрики Керра — наличие перекрёстного члена dt dφ, отвечающего за эффект «перетаскивания инерциальных систем отсчёта» (frame dragging). Этот эффект принципиально отличает вращающуюся чёрную дыру от статической.
Решение Керра демонстрирует более сложную структуру горизонтов по сравнению с метрикой Шварцшильда. Положения горизонтов определяются условием Δ = 0:
$$ r_{\pm} = M \pm \sqrt{M^2 - a^2}. $$
При a2 < M2 оба горизонта существуют, и чёрная дыра является вращающейся Керровской чёрной дырой. При a2 = M2 реализуется экстремальная чёрная дыра Керра, когда два горизонта сливаются. При a2 > M2 решение формально описывает объект без горизонта — голую сингулярность, запрещённую космической цензурой Пенроуза.
Ключевое отличие метрики Керра — наличие области, называемой эргосферой. Она определяется границей, где коэффициент при dt2 обращается в ноль:
$$ g_{tt} = -\left(1 - \frac{2Mr}{\rho^2}\right) = 0. $$
Граница эргосферы называется статической границей:
$$ r_{\text{erg}}(\theta) = M + \sqrt{M^2 - a^2 \cos^2 \theta}. $$
Эргосфера располагается между статической границей и внешним горизонтом. Внутри неё никакой наблюдатель не может оставаться в покое относительно далёких звёзд: пространство-время само вращается вместе с чёрной дырой.
Физическая интерпретация члена dt dφ связана с явлением frame dragging — вращающаяся чёрная дыра «увлекает» собой локальные системы отсчёта. В эргосфере это проявляется в том, что движение в направлении против вращения невозможно, а любой объект вынужден вращаться вместе с чёрной дырой.
Эта особенность имеет фундаментальное значение для астрофизики: именно из-за перетаскивания инерциальных систем возможны такие процессы, как извлечение энергии из чёрной дыры.
В метрике Керра сингулярность имеет принципиально иную форму, чем в решении Шварцшильда. Вместо точечной сингулярности возникает кольцевая сингулярность, расположенная при ρ2 = 0, то есть в условиях
$$ r = 0, \quad \theta = \frac{\pi}{2}. $$
Это кольцо обладает уникальными топологическими свойствами: в теории оно может соединять области пространства-времени, допускающие так называемые «черезкольцевые» траектории, ведущие в другие вселенные или в другие области того же пространства. Однако эти экзотические сценарии, скорее всего, физически нестабильны.
Одним из наиболее поразительных следствий решения Керра является возможность извлечения энергии из вращающейся чёрной дыры. В 1969 году Роджер Пенроуз предложил механизм:
Таким образом, вращение чёрной дыры может служить источником колоссальной энергии. На этом принципе базируется и модель Бландфорда–Знайека, описывающая джеты активных ядер галактик.
Движение частиц и фотонов в пространстве-времени Керра существенно усложняется по сравнению с метрикой Шварцшильда. Уравнения геодезических можно разделить благодаря наличию скрытой симметрии и интеграла Картерa, что позволяет аналитически описывать траектории.
Особенности движения:
Большинство реальных астрофизических чёрных дыр обладают ненулевым угловым моментом, так как звёзды, коллапсирующие в чёрные дыры, вращаются. Поэтому метрика Керра является реалистичной моделью астрофизических чёрных дыр.
Наблюдаемые следствия: