Решение Райсснера-Нордстрёма для заряженной чёрной дыры

Решение Райсснера–Нордстрёма является точным решением уравнений Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля, описывающим статическую, сферически-симметричную чёрную дыру с электрическим зарядом. Оно расширяет вакуумное решение Шварцшильда и учитывает вклад электромагнитного тензора энергии–импульса в геометрию пространства-времени.

Метрический тензор в координатах Шварцшильда имеет вид:

$$ ds^2 = - f(r)\, dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)} + r^2 d\Omega^2, $$

где

$$ f(r) = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{GQ^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^4 r^2}, $$

а dΩ2 = dθ2 + sin2θ dϕ2.

Здесь:

  • M — масса чёрной дыры,
  • Q — электрический заряд,
  • G — гравитационная постоянная,
  • c — скорость света,
  • ε0 — диэлектрическая постоянная вакуума.

Таким образом, отличие от решения Шварцшильда заключается в появлении дополнительного члена  ∝ Q2/r2, отражающего электростатическое отталкивание.

Горизонты событий

Функция f(r) определяет геометрию горизонтов:

$$ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad r_{\pm} = \frac{GM}{c^2} \pm \sqrt{\left(\frac{GM}{c^2}\right)^2 - \frac{GQ^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^4}}. $$

  • r+ — внешний горизонт (аналог горизонта Шварцшильда).
  • r− — внутренний горизонт (Коши).

Существуют три режима:

  1. Заряд малый (Q2 < 4πε0GM2): два горизонта, внешний и внутренний.
  2. Критический заряд (Q2 = 4πε0GM2): оба горизонта совпадают (r+ = r−) — экстремальная чёрная дыра.
  3. Сверхзаряженное состояние (Q2 > 4πε0GM2): горизонтов нет, решение описывает голую сингулярность, запрещённую согласно гипотезе космической цензуры.

Электромагнитное поле и тензор энергии–импульса

Вклад электромагнитного поля в кривизну пространства определяется тензором энергии–импульса Максвелла:

$$ T_{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F_{\mu\alpha} F_{\nu}^{\ \alpha} - \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right), $$

где Fμν — электромагнитный тензор.

Для решения Райсснера–Нордстрёма поле имеет радиальный кулоновский вид:

$$ F_{tr} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}. $$

Эта компонента определяет электростатическое поле, ассоциированное с чёрной дырой.

Кривизна и сингулярность

Подобно решению Шварцшильда, сингулярность возникает при r = 0. Однако здесь она более “жёсткая”, так как одновременно сходятся к бесконечности и гравитационные, и электромагнитные инварианты.

Скаляры кривизны (например, инвариант Крейчмана):

K = RμναβRμναβ,

демонстрируют расходимость при r → 0. В отличие от горизонта r±, который является лишь координатной особенностью, точка r = 0 — истинная физическая сингулярность.

Каузальная структура и диаграммы Пенроуза

Наличие двух горизонтов усложняет каузальную структуру пространства-времени:

  • Внешний горизонт отделяет область наблюдателя от недоступной внутренней части.
  • Внутренний горизонт Коши связан с неустойчивостью и возможностью нарушения детерминизма.

Расширенные диаграммы Пенроуза для этого решения показывают чередование областей с черными дырами и белыми дырами, а также “кротовиноподобные” соединения. Однако такие структуры, вероятно, нестабильны под действием возмущений и квантовых эффектов.

Экстремальные заряженные чёрные дыры

Особый интерес представляют экстремальные чёрные дыры, при которых r+ = r−. В этом случае температура Хокинга равна нулю, так как поверхностная гравитация исчезает:

$$ \kappa = \frac{c^4}{4GM} \left(1 - \frac{Q^2}{4 \pi \varepsilon_0 G M^2}\right)^{1/2} \to 0. $$

Это означает отсутствие излучения Хокинга и потенциальную стабильность такой чёрной дыры. Экстремальные состояния играют фундаментальную роль в теории струн и супергравитации, где они интерпретируются как BPS-состояния, сохраняющие часть сверхсимметрии.

Термодинамика заряжённых чёрных дыр

Формула Бекенштейна–Хокинга для энтропии сохраняется:

$$ S = \frac{k_B c^3}{4 G \hbar} A, $$

где площадь горизонта

A = 4πr+2.

Температура связана с поверхностной гравитацией:

$$ T_H = \frac{\hbar \kappa}{2\pi k_B c}. $$

При росте заряда Q температура убывает и обращается в ноль в экстремальном случае. Это указывает на фундаментальные квантовые особенности заряжённых чёрных дыр.

Оглавление