Решение Шварцшильда для сферически-симметричной массы

В общей теории относительности ключевой задачей является нахождение метрики пространства-времени, создаваемого данной конфигурацией материи. В случае сферически-симметричного распределения массы, не зависящего от времени и находящегося в вакууме, решение было впервые найдено Карлом Шварцшильдом в 1916 году. Это решение представляет собой точное выражение для метрики гравитационного поля вне массивного тела, описываемого как точечная масса или сферическая звезда.

Метрика в координатах (t, r, θ, φ) имеет вид:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, d\varphi^2 , $$

где

  • M — масса центрального объекта,
  • G — гравитационная постоянная,
  • c — скорость света,
  • r — радиальная координата (не совпадающая с расстоянием в евклидовом смысле),
  • θ, φ — угловые координаты.

Основные свойства метрики

  1. Сферическая симметрия Метрика инвариантна относительно вращений: все угловые направления эквивалентны. Это является следствием изотропии источника.

  2. Статичность Компоненты метрики не зависят от времени t, что отражает стационарность поля — отсутствует излучение или эволюция источника.

  3. Гравитационный радиус В выражении появляется характерная длина — радиус Шварцшильда:

    $$ r_s = \frac{2GM}{c^2}. $$

    При r = rs коэффициенты метрики становятся особенностями: gtt → 0, а grr → ∞. Эта поверхность называется горизонтом событий.

Горизонт событий и сингулярность

  • Горизонт событий: поверхность r = rs не является физической сингулярностью, а лишь координатной. Переход к другим системам координат (например, координатам Крушкала–Секереша или Эддингтона–Финкельштейна) устраняет видимую бесконечность. Горизонт определяет область, из которой никакая информация не может достичь внешнего наблюдателя.

  • Центральная сингулярность: при r → 0 скалярные инварианты кривизны (например, инвариант Крейча–Римана) становятся бесконечными. Это истинная физическая сингулярность, где плотность энергии и кривизна пространства-времени стремятся к бесконечности.

Слабое поле и ньютоновский предел

При больших расстояниях от массы, r ≫ rs, метрика Шварцшильда приближается к:

$$ ds^2 \approx -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\varphi^2). $$

В этом пределе компонента gtt даёт гравитационный потенциал:

$$ \Phi(r) = -\frac{GM}{r}, $$

что полностью согласуется с классической ньютоновской теорией тяготения.

Геодезические и движение частиц

Движение пробных частиц в метрике Шварцшильда определяется уравнениями геодезических. Важные результаты:

  • Радиальная траектория фотонов показывает, что свету требуется бесконечное собственное время, чтобы достичь горизонта событий, с точки зрения удалённого наблюдателя.
  • Орбиты частиц: уравнения приводят к существованию стабильных и нестабильных круговых орбит. Для фотонов существует особый радиус — фотонная сфера на $r = \tfrac{3GM}{c^2}$, где свет может двигаться по замкнутым орбитам.
  • Минимальная устойчивая орбита для массивной частицы находится на радиусе r = 6GM/c2. Ниже этого значения круговые орбиты становятся нестабильными.

Гравитационное замедление времени

Для наблюдателя на фиксированном радиусе r собственное время связано с временем удалённого наблюдателя как:

$$ d\tau = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \, dt. $$

По мере приближения к горизонту событий фактор $\sqrt{1 - r_s/r}$ стремится к нулю, что означает сильное замедление времени вблизи чёрной дыры.

Красное смещение излучения

Фотон, испущенный на радиусе r, при достижении удалённого наблюдателя испытывает гравитационное красное смещение:

$$ 1+z = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}}. $$

При r → rs красное смещение стремится к бесконечности.

Влияние на орбиты планет и наблюдаемые эффекты

Метрика Шварцшильда приводит к ряду наблюдаемых эффектов:

  • Прецессия перигелия — дополнительное смещение орбиты планет, знаменитый пример — прецессия перигелия Меркурия.
  • Отклонение света — гравитационное линзирование, при котором луч света искривляется вблизи массивного тела.
  • Задержка сигналов (эффект Шапиро) — замедление распространения радиосигналов вблизи массивных объектов.

Расширения решения

Решение Шварцшильда является фундаментальным частным случаем. Для заряжённых объектов возникает решение Рейсснера–Нордстрёма, для вращающихся — решение Керра, для заряжённых и вращающихся — метрика Керра–Ньюмана. Все они содержат решение Шварцшильда как предельный случай при исчезновении заряда и момента вращения.

Оглавление