Скалярно-тензорные теории гравитации представляют собой обобщение общей теории относительности (ОТО), в которых наряду с метрикой gμν присутствует дополнительное скалярное поле ϕ. Эти теории позволяют учитывать возможные модификации гравитации на больших или малых масштабах и служат инструментом для изучения устойчивости и структуры чёрных дыр в альтернативных моделях гравитации. Наиболее известной является теория Бранса–Дикке, но современные подходы включают широкий спектр вариантов с нелинейными потенциалами и динамикой скалярного поля.
Действие типичной скалярно-тензорной теории имеет вид:
$$ S = \frac{1}{16\pi} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \phi R - \frac{\omega(\phi)}{\phi} (\nabla \phi)^2 - V(\phi) \right] + S_\text{matter}[g_{\mu\nu}, \Psi], $$
где:
Вариация по метрике даёт модифицированные уравнения Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi}{\phi} T_{\mu\nu} + \frac{\omega(\phi)}{\phi^2} \left( \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} (\nabla \phi)^2 \right) + \frac{1}{\phi} (\nabla_\mu \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu} \Box \phi) - \frac{V(\phi)}{2\phi} g_{\mu\nu}. $$
Вариация по ϕ приводит к уравнению скалярного поля:
$$ \Box \phi = \frac{1}{2\omega(\phi) + 3} \left( 8\pi T - \frac{d\omega}{d\phi} (\nabla \phi)^2 + \phi \frac{dV}{d\phi} - 2V(\phi) \right), $$
где T = gμνTμν — след тензора энергии–импульса.
1. Теорема «безволосости»: В классической ОТО чёрные дыры описываются только массой, зарядом и угловым моментом. В скалярно-тензорных теориях существует аналогичная «теорема безволосости» при минимальных допущениях: статические асимптотически плоские чёрные дыры с тривиальным потенциалом V(ϕ) = 0 обычно не несут дополнительного скалярного «волоса», то есть ϕ = const вне горизонта.
2. Нарушение безволосости: Если потенциал V(ϕ) ненулевой или существует нестандартная кинетика (ω(ϕ) зависит от ϕ), возможно формирование скалярного поля, влияющего на геометрию. Это приводит к появлению «скалярного волоса», который может модифицировать свойства горизонта и излучение.
3. Стабильность решений: Скалярное поле может создавать новые типы нестабильностей, особенно для вращающихся чёрных дыр. Наличие скалярного «облака» вокруг горизонта может приводить к сверхлучевой эрозии и к динамическим переходам к более устойчивым конфигурациям.
Масса и радиус горизонта: Скалярное поле изменяет связь между массой чёрной дыры и радиусом горизонта. В зависимости от потенциала V(ϕ) радиус может увеличиваться или уменьшаться по сравнению с решением Шварцшильда.
Гравитационное излучение: Скалярные возмущения дают дополнительный канал излучения, что потенциально может быть зафиксировано через гравитационные волны. В случае слияния чёрных дыр присутствие скалярного поля изменяет форму сигнала и его фазовую эволюцию.
Кинематика тестовых тел: Орбиты частиц и света вокруг чёрной дыры в скалярно-тензорных теориях могут отличаться от классических предсказаний ОТО, создавая потенциально наблюдаемые эффекты прецессии и изменения траекторий фотонов.
1. Статические решения: Для сферически симметричной метрики в скалярно-тензорной теории с тривиальным потенциалом ϕ = const решение совпадает с Шварцшильдом:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2M/r} + r^2 d\Omega^2. $$
Если же ϕ зависит от r, возникают модифицированные метрики типа «дилатонных чёрных дыр».
2. Вращающиеся решения: Для осесимметричных чёрных дыр возможны расширения метрики Керра с учётом скалярного поля, которые учитывают изменения эргосферы и частоту сверхлучевого излучения.
3. Решения с антидилатонным потенциалом: Нелинейные потенциалы могут приводить к появлению «холодных» чёрных дыр с уменьшенной температурой горизонта и изменённой энтропией, что оказывает влияние на термодинамику чёрных дыр.
Скалярно-тензорные теории часто служат низкоэнергетическим пределом более общих модификаций гравитации, включая f(R)-гравитацию, теории Галилея и Хорндеса. В этих теориях скалярное поле может интерпретироваться как дополнительный степенной член в действии, что позволяет связать наблюдаемые эффекты с фундаментальными поправками к ОТО.
Ключевой момент: изучение скалярно-тензорных чёрных дыр не только расширяет спектр возможных гравитационных объектов, но и предоставляет тестовую площадку для проверки альтернативных моделей гравитации через астрофизические наблюдения.