Спинорные методы в теории относительности

Спинорные методы в теории относительности предоставляют мощный математический аппарат для анализа геометрии пространства-времени и свойств полей с полуцелыми спинами. Они позволяют переписать уравнения Эйнштейна и связанные с ними объекты в форме, более удобной для изучения симметрий, классификации решений и анализа гравитационных волн.

Спинор в четырёхмерном пространстве-времени — это объект, который трансформируется по двумерному комплексному представлению группы Лоренца SL(2, ℂ). В отличие от тензоров, спиноры обладают структурой, отражающей внутреннюю ориентацию пространства-времени и позволяют изящно описывать объекты типа Weyl-спиноров и Dirac-спиноров.

---

Спинорные индексы и преобразования

В спинорном формализме используются два типа индексов: верхние и нижние спинорные индексы A, B, … и их сопряжённые Ȧ, Ḃ, …. Для каждого спинора существует операция поднятия и опускания индексов с использованием антисимметричного спинорного метрического тензора ϵ_AB, который играет роль “метрики” в спинорной плоскости:

ψ^A = ϵ^ABψ_B,  ψ_A = ϵ_ABψ^B

Эта структура обеспечивает внутреннюю согласованность преобразований и позволяет выражать тензорные объекты через спиноры. Например, в четырёхмерном пространстве-времени метрика g_ab может быть записана через симметризованные спинорные индексы:

g_AA′BB′ = ϵ_ABϵ_A′B′

где A, B — спинорные индексы, а A′, B′ — их сопряжённые.

---

Преобразование тензоров в спиноры

Любой тензор в пространстве Минковского можно переписать через спиноры с использованием правил:

1. Вектор V^a соответствует спинору V^AA′.
2. Антисимметрический тензор второго ранга F_ab разлагается на два симметричных спинора:

F_AA′BB′ = ϕ_ABϵ_A′B′ + ϕ̄_A′B′ϵ_AB

где ϕ_AB = ϕ_(AB) — симметричный спинор, описывающий “положительную” часть поля, а ϕ̄_A′B′ — комплексно-сопряжённая часть.

Такое разложение особенно полезно для анализа электромагнитного поля, тензора Риччи и тензора Вейля, где спинорная форма позволяет выделять независимые компоненты, связанные с гравитационным излучением.

---

Тензор Вейля и классификация Петрова

Ключевым объектом в спинорной теории гравитации является тензор Вейля C_abcd, который характеризует чистое гравитационное поле без источников. В спинорной форме тензор Вейля представляется симметричным спинором четвёртого ранга Ψ_ABCD = Ψ_(ABCD). Его комплексное сопряжение Ψ̄_{A′B′C′D′} соответствует “правой” части поля.

С помощью спиноров Вейля можно осуществлять классификацию Петрова, которая определяет типы пространств-времён по кратности собственных спиноров Ψ_ABCD:

• Тип I: четыре различные главные спиноры;
• Тип II: один кратный спинор и два простых;
• Тип D: два двойных спинора;
• Тип III: один тройной и один простой;
• Тип N: один четвёрной кратности;
• Тип O: тензор Вейля равен нулю.

Эта классификация критически важна для анализа решений уравнений Эйнштейна, таких как чёрные дыры, волновые решения и космологические модели.

---

Уравнения Эйнштейна в спинорной форме

Уравнения Эйнштейна

G_ab + Λg_ab = 8πT_ab

в спинорной форме переписываются через спиноры Вейля Ψ_ABCD и спиноры Риччи Φ_ABA′B′:

Φ_ABA′B′ + Λϵ_ABϵ_A′B′ = 4πT_ABA′B′

где Φ_ABA′B′ соответствует тензору Риччи R_ab, а Λ — космологическая постоянная. Спинорная форма позволяет разделять геометрические и физические степени свободы поля и упрощает анализ симметрий.

---

Спинорные уравнения поля

Для поля Дирака ψ^A и его сопряжённого ψ̄^A′ уравнения движения в кривом пространстве имеют вид:

∇_AA′ψ^A = 0,  ∇_AA′ψ̄^A′ = 0

где ∇_AA′ — ковариантная производная, действующая на спиноры. Эти уравнения используются для изучения взаимодействия полей с гравитацией и для построения спинорных моделей чёрных дыр с полуцелым спином.

---

Применение спинорных методов

Спинорный формализм играет центральную роль в нескольких направлениях теоретической физики:

1. Квантовая гравитация: спинорная структура лежит в основе формализма Пенроуза для спинорного подхода к квантовой гравитации.
2. Анализ гравитационных волн: компоненты тензора Вейля Ψ₄ описывают излучение, исходящее от компактных источников.
3. Исследование симметрий чёрных дыр: спинорные методы упрощают нахождение Killing-спиноров и интегрируемых структур.
4. Космологические модели: разложение тензора Риччи через спиноры помогает изучать анизотропные и неоднородные решения.