В классической общей теории относительности чёрная дыра описывается всего несколькими макроскопическими параметрами: массой M, угловым моментом J и электрическим зарядом Q. Такая простота формулируется в знаменитой теореме «уникальности» (no-hair theorem). Однако с точки зрения статистической механики возникает принципиальный вопрос: какие микросостояния соответствуют этим макроскопическим характеристикам?
Основным объектом исследования здесь является энтропия чёрной дыры, предложенная Беком и Хокингом. Согласно их результатам, энтропия S связана с площадью горизонта событий A следующим образом:
$$ S = \frac{k_B c^3 A}{4 \hbar G}, $$
где kB — постоянная Больцмана, G — гравитационная постоянная, c — скорость света, ℏ — редуцированная постоянная Планка. Эта формула показывает, что число микросостояний Ω определяется как Ω ∼ eS/kB.
Ключевым аспектом является квантование площади горизонта. В подходе Loop Quantum Gravity площадь горизонта является квазидискретной, и её квантование ведёт к конечному числу микросостояний для фиксированного значения массы и углового момента. В струнной теории энтропия чёрной дыры также удаётся получить через учет числа состояний D-бран, совместимых с заданными зарядами и массой.
Чёрная дыра излучает тепловое излучение, известное как излучение Хокинга, с температурой
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G k_B M}. $$
Это излучение является следствием квантовых флуктуаций на горизонте событий и позволяет определить связь между термодинамическими величинами: температурой, энтропией и массой. Основные термодинамические законы для чёрных дыр принимают вид:
dM = THdS + ΩHdJ + ΦHdQ,
где ΩH — угловая скорость вращения на горизонте, ΦH — электростатический потенциал. Этот закон является аналогом закона сохранения энергии для системы с энтропией.
В статистической механике чёрных дыр особое внимание уделяется подсчету числа микросостояний, соответствующих данным макроскопическим параметрам. В Loop Quantum Gravity этот подсчет производится через разбиение поверхности горизонта на «плёнки» с квантованной площадью, каждая из которых обладает спиновой структурой j = 1/2, 1, 3/2, …. Количество комбинаций этих плёнок, суммарная площадь которых близка к A, определяет энтропию.
В струнной теории подход основан на BPS-состояниях D-бран, которые сохраняют часть суперсимметрии. Подсчёт этих состояний для малых размеров черной дыры в пяти измерениях точно совпадает с формулой Бека-Хокинга, демонстрируя глубокую связь между квантовой теорией поля, суперсимметрией и термодинамикой гравитации.
Точная энтропия чёрной дыры включает квантовые поправки. При больших массах основная формула остаётся верной, но появляются логарифмические и обратноплощадные поправки:
$$ S = \frac{k_B A}{4 \ell_P^2} - \alpha \ln \frac{A}{\ell_P^2} + \dots, $$
где $\ell_P = \sqrt{\hbar G / c^3}$ — планковская длина, а α — константа, зависящая от теории. Эти поправки имеют фундаментальное значение для микроскопической структуры горизонта и квантовой статистики чёрных дыр.
Флуктуации массы, углового момента и заряда приводят к статистическим ансамблям чёрных дыр. Например, в каноническом ансамбле фиксируется температура, в микроканоническом — энергия (масса). Статистическая механика показывает, что чёрные дыры могут обладать термодинамическими фазовыми переходами, аналогичными жидкость–газ, особенно в пространствах с анти-де Ситтеровской метрикой (AdS), где изучаются так называемые переходы Хьюга–Льюиса.
Для чёрных дыр в AdS-пространстве существуют хорошо изученные фазовые переходы:
Переход Хьюга–Льюиса: при фиксированной температуре малые чёрные дыры нестабильны, а большие — стабильны. Связь с термодинамикой описывается кривыми T(S), где температура как функция энтропии имеет максимум и минимум, указывая на метастабильные состояния.
Гравитационная термодинамика демонстрирует, что чёрная дыра может находиться в термодинамическом равновесии с тепловым излучением в ограниченном объёме (cavity), а статистическая механика позволяет подсчитать вероятность переходов между микросостояниями.
Энтропия чёрной дыры имеет глубокую связь с информационным содержанием пространства-времени. Проблема сохранения информации при испарении чёрной дыры остаётся одним из ключевых вопросов современной физики. Статистическая механика чёрных дыр предоставляет фреймворк для изучения:
Обратимости процессов: подсчёт микросостояний показывает, что теоретически информация о материале, образовавшем чёрную дыру, не исчезает, а закодирована в корреляциях между квантовыми флуктуациями излучения.
Голографический принцип: число степеней свободы внутри чёрной дыры пропорционально площади, а не объёму, что является фундаментальной особенностью гравитации в квантовом контексте.