Температура Хокинга и излучение чёрных дыр

Квантовые эффекты вблизи горизонта событий

Черные дыры традиционно рассматривались как абсолютно черные объекты, поглощающие всю падающую материю и излучение без обратного эффекта. Однако в 1974 году Стивен Хокинг показал, что квантовые эффекты вблизи горизонта событий приводят к излучению, которое сегодня называют излучением Хокинга. Этот процесс связан с квантовыми флуктуациями вакуума, приводящими к образованию пар виртуальных частиц.

Когда пара виртуальных частиц возникает близко к горизонту событий, одна частица может оказаться за пределами горизонта и стать реальной, тогда как другая частица с отрицательной энергией падает внутрь черной дыры. В результате масса черной дыры уменьшается, а внешняя частица воспринимается наблюдателем как излучение.

Этот механизм напрямую связывает квантовую теорию поля, общую теорию относительности и термодинамику, создавая уникальный пример гравитационно-квантового эффекта.

Температура Хокинга

Температура Хокинга T_H для невращающейся (шварцшильдовской) черной дыры задается формулой:

$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G M k_B}, $$

где:

ℏ — редуцированная постоянная Планка,
c — скорость света,
G — гравитационная постоянная,
M — масса черной дыры,
k_B — постоянная Больцмана.

Ключевые моменты:

Температура обратно пропорциональна массе черной дыры: чем меньше масса, тем выше температура.
Для черной дыры с массой Солнца M ≈ 2 ⋅ 10³⁰кг температура составляет порядка 10⁻⁷ К, что значительно ниже температуры космического микроволнового фона, и поэтому такое излучение практически невозможно зарегистрировать.
Для микроскопических черных дыр (гипотетических первичных черных дыр) температура может быть крайне высокой, вплоть до миллиардов Кельвинов, что делает их излучение заметным.

Спектр и характеристики излучения

Излучение Хокинга близко к спектру черного тела, с интенсивностью, зависящей от частоты ν:

$$ I(\nu) = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{\exp\left(\frac{h \nu}{k_B T_H}\right)-1}. $$

Особенности:

Спектр не идеальный: вблизи горизонта событий происходит модификация спектра, известная как гравитационное красное смещение.
Излучение включает все возможные виды частиц, способные покинуть черную дыру: фотоны, нейтрино, возможно даже элементарные частицы с массой, если температура достаточна.
Излучение является исходящим, что постепенно уменьшает массу черной дыры — процесс, называемый испарением черной дыры.

Масса, испарение и время жизни

Мощность излучения черной дыры определяется законом Стефана–Больцмана:

P = σAT_H⁴,

где A = 4πr_s² — площадь горизонта событий (r_s = 2GM/c² — радиус Шварцшильда), а σ — постоянная Стефана–Больцмана. Подставив температуру Хокинга, получаем зависимость мощности излучения от массы:

$$ P \sim \frac{\hbar c^6}{G^2 M^2}. $$

Следствия:

Большие черные дыры излучают крайне мало и практически не теряют массу за возраст Вселенной.
Малые черные дыры испаряются значительно быстрее, с временем жизни:

$$ \tau \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}. $$

Пример: черная дыра с массой 10¹² кг испарится за примерно 10¹⁰ лет.

Термодинамическая связь

Излучение Хокинга позволяет установить полную термодинамическую аналогию черных дыр:

Энтропия черной дыры S пропорциональна площади горизонта событий:

$$ S = \frac{k_B c^3 A}{4 G \hbar}. $$

Температура Хокинга играет роль термодинамической температуры, связывая закон сохранения энергии (первый закон термодинамики) с изменением массы черной дыры:

dM = T_HdS.

Черные дыры имеют отрицательную теплоемкость: при уменьшении массы температура растет, ускоряя испарение — нестабильный термодинамический процесс.

Значение излучения Хокинга

Квантовая гравитация: излучение Хокинга — один из немногих известных процессов, где квантовые эффекты взаимодействуют с сильным гравитационным полем.
Информационный парадокс: излучение Хокинга связано с потерей информации, что ставит фундаментальные вопросы о совместимости квантовой механики и общей теории относительности.
Космология и астрофизика: микроскопические черные дыры могли существовать в ранней Вселенной, и их испарение оставило бы заметные следы в виде гамма-излучения.

Температура Хокинга и излучение черных дыр открывают уникальное окно на связь квантовой механики, термодинамики и гравитации, создавая основу для понимания процессов, недоступных в лабораторных условиях, и формируя теоретический фундамент современной физики черных дыр.