Современное описание чёрных дыр невозможно без аппарата тензорного исчисления и дифференциальной геометрии. Именно в этих математических структурах находит строгую формулировку Общая теория относительности (ОТО), в рамках которой гравитация рассматривается как геометрическое свойство пространства-времени. Чёрные дыры представляют собой особые решения уравнений Эйнштейна, а их физика напрямую связана с кривизной многообразия и поведением тензоров в экстремальных условиях.
Пространство-время в ОТО описывается как четырёхмерное псевдориманово многообразие с метрикой сигнатуры (+, −, −, −) или (− + ++). Метрика gμν определяет скалярные произведения в касательных пространствах и задаёт элемент длины
ds2 = gμνdxμdxν.
Для чёрных дыр фундаментальным является определение метрики, зависящей от массы, заряда и углового момента объекта. Метрика задаёт геометрию и полностью определяет структуру горизонта событий. Например, метрика Шварцшильда имеет вид
$$ ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 d\Omega^2, $$
где dΩ2 = dθ2 + sin2θ dϕ2.
Для описания гравитационного поля ключевым объектом является тензор Римана R σμνρ, который кодирует кривизну многообразия. Он строится из связности Леви-Чивита и её производных:
R σμνρ = ∂μΓ νσρ − ∂νΓ μσρ + Γ μλρΓ νσλ − Γ νλρΓ μσλ.
Свёртка тензора Римана даёт тензор Риччи Rμν, а его след — скаляр кривизны R. Уравнения Эйнштейна связывают геометрию пространства-времени с материей:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
В случае вакуумных решений, описывающих чёрные дыры без вещества и излучения, правая часть уравнения обращается в ноль:
Rμν = 0.
Физика чёрных дыр связана с анализом скалярных инвариантов кривизны, например, инварианта Кретчмана:
K = RμνρσRμνρσ.
Он позволяет отличать истинные физические особенности (сингулярности), где кривизна становится бесконечной, от координатных особенностей, возникающих при выборе конкретной системы координат (например, на горизонте Шварцшильда).
Движение частиц и света вблизи чёрных дыр описывается геодезическими уравнениями:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\ \nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0. $$
Для массивных частиц параметр τ совпадает с собственным временем, для безмассовых — с аффинным параметром. Анализ геодезик позволяет определить радиус фотонной сферы, устойчивость орбит и структуру аккреционных процессов.
При изучении чёрных дыр используются законы сохранения, вытекающие из симметрий метрики. Вакуумные решения обладают тензором энергии-импульса Tμν = 0, но наличие заряда или вращения добавляет электромагнитный тензор или угловой момент. Симметрии пространства-времени описываются векторными полями Киллинга, удовлетворяющими условию
∇μξν + ∇νξμ = 0.
Они отвечают за законы сохранения энергии и углового момента при движении в поле чёрной дыры.
Горизонт событий можно рассматривать как трёхмерное гиперповерхностное многообразие в четырёхмерном пространстве-времени. Его свойства описываются вторым фундаментальным тензором и связаны с поверхностной гравитацией κ, характеризующей ускорение, необходимое для удержания наблюдателя на горизонте:
$$ \kappa = \frac{c^4}{4GM}. $$
В квантовой теории именно эта величина определяет температуру Хокинга через соотношение
$$ T_H = \frac{\hbar \kappa}{2\pi k_B c}. $$
Для вращающихся и заряженных чёрных дыр используются более сложные метрики — Керра и Рейсснера–Нордстрёма. Их анализ требует применения тензорных методов в координатах Бойера–Линдквиста или Эддингтона–Финкельштейна, позволяющих избежать ложных особенностей. В этих случаях геометрия становится существенно анизотропной, а тензор кривизны выявляет структуры, такие как эргосфера и внутренние горизонты.
Для компактного описания кривизны и связности широко применяется формализм дифференциальных форм и исчисления внешних производных. Кривизна выражается через 2-формы, а уравнения Эйнштейна могут быть перезаписаны в геометрически наглядной форме с использованием тетра́д и связности Картана. Этот подход особенно полезен при изучении топологических свойств чёрных дыр и при попытках их квантового обобщения.