Уравнения Эйнштейна являются центральным элементом общей теории относительности. Они связывают геометрические свойства пространства-времени с распределением энергии и импульса материи. В общем виде уравнения имеют вид:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где
Таким образом, левая часть уравнений описывает геометрию, а правая — физическое содержание, т. е. материю и поля.
Метрический тензор gμν задаёт структуру пространства-времени, определяя расстояния, временные интервалы и причинность. Через тензор Риччи и скалярную кривизну в уравнениях Эйнштейна отражается локальная геометрическая реакция пространства-времени на материю. Тензор Эйнштейна Gμν является дивергентно-свободным объектом (∇μGμν = 0), что гарантирует согласованность с законом сохранения энергии и импульса (∇μTμν = 0).
Уравнения Эйнштейна выражают глубокую идею: материя диктует, как искривляется пространство-время, а искривлённое пространство-время определяет движение материи. Это можно рассматривать как обобщение ньютоновского закона всемирного тяготения, но в геометрической форме.
Например, в пределе слабых полей и низких скоростей (v ≪ c) из уравнений Эйнштейна выводится классическое ньютоновское уравнение для гравитационного потенциала. Таким образом, они содержат в себе как традиционную гравитацию Ньютона, так и новые эффекты, проявляющиеся в экстремальных условиях, например, вблизи чёрных дыр.
Член с космологической постоянной Λgμν описывает энергию вакуума или, в современном контексте, тёмную энергию. Его присутствие приводит к ускоренному расширению Вселенной. В случае чёрных дыр Λ влияет на структуру горизонтов: для положительной Λ возможны космологические горизонты (например, метрика Шварцшильда — де Ситтера).
Уравнения Эйнштейна чрезвычайно сложны, и в общем виде их аналитическое решение невозможно. Однако при наложении симметрий удаётся получить важные частные решения:
Каждое из этих решений является точным решением уравнений Эйнштейна при определённых физических условиях.
Важной особенностью уравнений Эйнштейна является их нелинейность. Гравитация сама обладает энергией, и эта энергия также искривляет пространство-время. В отличие от электродинамики Максвелла, где поле не взаимодействует само с собой напрямую, в гравитации возникает самодействие. Именно поэтому динамика чёрных дыр и слияний чёрных дыр требует сложных численных методов, известных как численная релятивистская гравитация.
Хотя тензор энергии-импульса описывает материю и излучение, в общей теории относительности нет строгого локального определения гравитационной энергии. Это связано с тем, что гравитация интерпретируется не как поле в пространстве-времени, а как сама геометрия. Тем не менее существуют квазилокальные и глобальные определения энергии, например масса Арновитта–Дезера–Мизнера (ADM-масса) и масса Бонди. Эти величины играют ключевую роль при описании чёрных дыр.
Именно уравнения Эйнштейна позволяют предсказать существование горизонта событий — границы, за которой траектории света и материи необратимо направлены внутрь. Это свойство напрямую следует из решения Шварцшильда. Более общие решения, такие как Керра или Керра — Ньюмана, показывают, как вращение и заряд изменяют геометрию горизонтов и создают такие эффекты, как эргосфера и возможность извлечения энергии из чёрной дыры.
Таким образом, уравнения Эйнштейна — это не просто формулы для вычисления кривизны. Это фундаментальное соотношение между геометрией и материей, которое лежит в основе всех феноменов, связанных с чёрными дырами: от формирования горизонтов событий до динамики аккреционных дисков и генерации гравитационных волн при слиянии.