Законы сохранения в искривленном пространстве-времени

В классической механике законы сохранения — энергии, импульса и момента импульса — следуют из симметрий пространства и времени. В специальной теории относительности эти законы получают естественное обобщение: они выражаются через четырёхмерный импульс и сохраняются благодаря однородности и изотропии пространства-времени Минковского. Однако в общей теории относительности (ОТО) ситуация существенно усложняется: пространство-время само становится динамическим объектом, его геометрия изменяется в зависимости от распределения материи и энергии.

Задача формулировки законов сохранения в искривлённом пространстве-времени требует осторожности, так как привычные глобальные определения энергии и импульса перестают работать в произвольных гравитационных полях. Вместо этого вводятся более тонкие локальные и квазилокальные определения, а также анализируются симметрии конкретных метрик.

Энергия-импульс и тензор энергии-импульса

В ОТО фундаментальным объектом является тензор энергии-импульса Tμν, который описывает плотность энергии, импульса и поток импульса в каждой точке пространства-времени. Его ковариантная дивергенция равна нулю:

∇μTμν = 0.

Это уравнение отражает локальные законы сохранения: энергия и импульс не исчезают и не появляются в каждой малой области пространства-времени. Однако здесь важен принципиальный момент: ковариантная производная включает члены, связанные с кривизной. Следовательно, равенство нулю не означает глобальной сохранённости в привычном смысле, а лишь то, что энергия и импульс могут обмениваться между материей и самим гравитационным полем.

Проблема энергии гравитационного поля

В отличие от других физических полей, у гравитации нет локально определимой плотности энергии. Попытки ввести такой объект приводят к т. н. псевдотензорам энергии-импульса (например, тензор Ландау–Лифшица), которые зависят от выбора координат. Это означает, что локальная энергия гравитации не имеет абсолютного смысла и может быть определена лишь в определённых приближениях или в асимптотических областях пространства-времени.

Тем не менее в ряде случаев вводятся полезные квазилокальные величины:

  • Энергия Арновитта–Дезера–Мизнера (ADM) — определяется на пространственновременных многообразиях, которые асимптотически плоские на бесконечности. Она описывает полную массу-энергию системы, включая вклад гравитационного поля.
  • Масса Бонди — используется в пространствах-временах, где излучение гравитационных волн уходит на светоподобную бесконечность. Она убывает во времени, отражая потерю энергии системой через излучение гравитационных волн.

Симметрии и теорема Нётер

Фундаментальная связь между симметриями и законами сохранения сохраняется и в ОТО, но принимает иной вид. Теорема Нётер утверждает: каждой непрерывной симметрии действия соответствует закон сохранения.

В искривлённом пространстве-времени наличие закона сохранения зависит от существования полей Киллинга — векторных полей, генерирующих изометрии метрики.

  • Если метрика стационарна (имеет Killing-вектор по времени), можно ввести сохранённую величину, интерпретируемую как энергия частицы.
  • Если пространство изотропно (например, в метрике Шварцшильда или Керра), сохраняется момент импульса относительно соответствующих осей.

Таким образом, глобальные законы сохранения существуют только при наличии симметрий пространства-времени.

Сохранение энергии и движение частиц

Для тестовой частицы, движущейся в гравитационном поле, геодезическое уравнение можно записать через лагранжиан

L = gμνẋμẋν,

где gμν — метрика. Если лагранжиан не зависит явно от некоторой координаты, то соответствующий импульс сохраняется. Например:

  • в стационарной метрике сохраняется энергия частицы E = −gtμẋμ;
  • в сферически-симметричной метрике сохраняется проекция углового момента.

Эти законы определяют орбиты вокруг чёрных дыр и динамику аккреционных дисков.

Потоки энергии в чёрных дырах

При рассмотрении чёрных дыр особое значение приобретают законы сохранения, связанные с горизонтом событий. В частности:

  • При поглощении материи чёрная дыра сохраняет общий импульс и момент импульса системы.
  • Существует аналог первого закона термодинамики: изменение массы чёрной дыры связано с изменением её площади горизонта и углового момента.

Это выражается через уравнение:

$$ dM = \frac{\kappa}{8\pi} dA + \Omega_H dJ + \Phi_H dQ, $$

где M — масса чёрной дыры, κ — поверхностная гравитация, A — площадь горизонта, ΩH — угловая скорость горизонта, J — момент импульса, Q — электрический заряд, ΦH — электростатический потенциал на горизонте.

Гравитационные волны и перенос энергии

Важнейший пример глобальных законов сохранения проявляется при рассмотрении гравитационных волн. Хотя локально нельзя определить плотность энергии поля, на больших расстояниях можно описывать поток энергии и импульса, уносимых волнами.

Этот поток описывается тензором энергии-импульса в линейном приближении и измеряется через так называемый псевдотензор Ландау–Лифшица. Наблюдаемые эффекты, такие как уменьшение орбитального периода двойных пульсаров (открытие Халса и Тейлора), подтверждают, что гравитационные волны действительно уносят энергию из системы.

Локальные и глобальные аспекты

Таким образом, в искривлённом пространстве-времени можно выделить два уровня законов сохранения:

  1. Локальные: ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю, что означает сохранение энергии и импульса на малых масштабах.
  2. Глобальные: зависят от симметрий и граничных условий метрики. В асимптотически плоских пространствах можно строго определить массу и импульс системы. В замкнутых или динамически расширяющихся Вселенных глобальные законы сохранения энергии не имеют строгого смысла.

Таким образом, формулировка законов сохранения в ОТО требует учёта геометрических особенностей пространства-времени и невозможности универсального глобального определения энергии гравитационного поля.

Оглавление