Формулировка соответствия AdS/CFT
Согласно гипотезе Малдасены, выдвинутой в 1997 году, существует глубокое соответствие между теориями гравитации в пространстве с анти-де Ситтеровской (AdS) геометрией и конформной теорией поля (CFT), определённой на границе этого пространства. Это соответствие утверждает, что полная теория гравитации в (d+1)-мерном пространстве AdS эквивалентна d-мерной квантовой теории без гравитации, обладающей конформной симметрией. Наиболее изученным и хорошо понятым примером является соответствие между типом IIB суперструнной теории на фоне AdS5 × S5 и четырёхмерной ???? = 4 суперсимметричной конформной теорией Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N).
Пространство анти-де Ситтера и его свойства
Пространство AdSd + 1 — это максимально симметричное пространство постоянной отрицательной кривизны, обладающее изометрической группой SO(2, d). Важной особенностью геометрии AdS является наличие границы на бесконечности, которая играет ключевую роль в формулировке соответствия. В координатах Пуанкаре метрика AdSd + 1 может быть записана в виде:
$$ ds^2 = \frac{L^2}{z^2} \left( dz^2 + \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \right), \quad z > 0, $$
где L — радиус кривизны AdS, z → 0 соответствует границе, а ημν — метрика Минковского пространства.
Конформная теория поля на границе
Граница AdS-пространства представляет собой d-мерное пространство, на котором определена CFT. В случае AdS5, соответствующая CFT — это ???? = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса в 4-х измерениях, обладающая полной конформной симметрией группы SO(2, 4), совпадающей с изометрической группой AdS5.
Словарь AdS/CFT
Центральным компонентом соответствия является так называемый «голографический словарь», устанавливающий соответствие между объектами теории в объёме AdS и объектами на его границе:
Конкретно, для поля ϕ(z, x) в AdS, соответствующего оператору ????(x) в CFT, связь задаётся формулой:
⟨e∫ddx ϕ0(x)????(x)⟩CFT = Zstring[ϕ(z, x) → ϕ0(x)],
где ϕ0(x) — значение поля ϕ на границе z → 0, а Zstring — струнный (или эффективный) функциональный интеграл по полям в объёме.
Параметрическое соответствие
Параметры теорий связаны следующим образом:
Таким образом, в пределе большого N и сильной связи gYM2N, CFT можно описывать классическими уравнениями движения супергравитации в AdS. Это делает AdS/CFT мощным инструментом для изучения сильно взаимодействующих квантовых теорий поля через решения в классической гравитации.
Корреляционные функции и квантовые поля
В рамках соответствия можно явно рассчитывать корреляционные функции операторов CFT, решая уравнения движения соответствующих полей в AdS с заданными граничными условиями. Например, поведение скалярного поля вблизи границы:
ϕ(z, x) ∼ zd − Δϕ0(x) + zΔ⟨????(x)⟩ + ⋯,
где Δ — конформная размерность оператора ????. Таким образом, знание поведения поля в AdS позволяет извлечь как источники, так и средние значения операторов на границе.
Энтропия чёрной дыры и голография
Важным тестом соответствия AdS/CFT является вычисление энтропии чёрной дыры. В пространстве AdS существуют стабильные чёрные дыры, чья термодинамика может быть интерпретирована как тепловое состояние CFT. В частности, энтропия Бекенштейна-Хокинга, пропорциональная площади горизонта, точно воспроизводится из подсчёта микросостояний в граничной теории. Этот результат иллюстрирует голографический принцип, согласно которому вся информация в объёме может быть закодирована на границе.
Голографическая реконструкция и радиальное квантование
Геометрия AdS даёт естественную интерпретацию радиального направления z как масштаба энергии в CFT. При z → 0 — теория в ультрафиолетовом пределе, при больших z — инфракрасный режим. Это привело к разработке голографической ренормгруппы, интерпретирующей эволюцию по z как течение по масштабу в CFT. Более того, это позволяет применять идеи голографической реконструкции, стремящейся восстановить объёмную геометрию по данным на границе.
Расширения AdS/CFT и другие примеры
Хотя оригинальное соответствие касается AdS5/CFT4, оно имеет обобщения:
Гравитационная энтанглемента и геометрия
Важнейший прогресс в голографии связан с идеей, что энтропия запутанности в CFT соответствует площади минимальной поверхности в AdS, ограниченной заданной областью на границе (формула Рюу-Такаянанги):
$$ S_A = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4 G_N}, $$
где γA — минимальная поверхность, натянутая над областью A. Это приводит к идее, что сама геометрия возникает из квантовой запутанности — центральной гипотезы голографической реконструкции пространства-времени.
Связь с интегрируемыми системами
AdS/CFT открыла дорогу к использованию методов интегрируемых систем для точного вычисления спектров аномальных размерностей операторов CFT. В частности, спектр операторов в ???? = 4 SYM при большом N и конечном ’t Hooft-куплинге может быть описан при помощи спиновых цепочек, уравнений Бетэ и термодинамического бета-анзаца, что позволяет рассчитывать физические величины даже в неperturbative режиме.
Аспекты неконформной голографии и реальных применений
Серьёзные усилия направлены на обобщение голографического принципа к неконформным и неравновесным системам:
Существенно, что в этих случаях AdS/CFT действует как эвристический, но мощный метод изучения сильно связанных квантовых систем в ситуациях, где обычные возмущательные методы не работают.
Теоретико-информационные аспекты и квантовая гравитация
Современные исследования углубляют понимание связи между квантовой информацией и гравитацией. Голографическая энтанглемента, код корректирующей квантовой ошибки, голографическая энтропия, гравитационные червоточины (wormholes) — всё это указывает на то, что гравитация в AdS может быть интерпретирована как эффективное описание более фундаментальной квантовой информации. Сама структура пространства-времени, согласно последним идеям, может быть деривирована из принципов теории информации.
Таким образом, AdS/CFT является не только важнейшим достижением в теоретической физике последних десятилетий, но и перспективным направлением, объединяющим квантовую теорию поля, гравитацию, теорию информации, математику и геометрию в единую концептуальную рамку.