В калибровочных теориях симметрии играют фундаментальную роль, обеспечивая согласованность и предсказуемость динамики частиц. Классически, если теория обладает непрерывной симметрией, то согласно теореме Нётер, существует соответствующий сохраняющийся ток. Однако при переходе к квантовому описанию ситуация может кардинально измениться: оказывается, что некоторые симметрии, существующие на классическом уровне, нарушаются в результате квантовых флуктуаций. Это явление называется аномалией.
Аномалия возникает при регуляризации и перенормировке квантовой теории поля, особенно в вычислении диаграмм Фейнмана с треугольной петлёй, где взаимодействуют три тока — два векторных и один аксиальный. Аномалии могут проявляться как нарушение симметрии аксиального тока, так и, в худшем случае, как нарушение калибровочной инвариантности, что делает теорию несогласованной на фундаментальном уровне.
Рассмотрим калибровочную теорию с фермионами, обладающими левыми и правыми компонентами. Пусть имеется ток J5μ = ψ̄γμγ5ψ, соответствующий аксиальной симметрии. В классической теории его дивергенция равна нулю при отсутствии масс и внешних полей:
∂μJ5μ = 0
Однако квантовое рассмотрение, с учётом диаграмм с треугольными петлями, даёт ненулевую дивергенцию:
$$ \partial_\mu J^\mu_5 = \frac{e^2}{16\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma} $$
Здесь Fμν — тензор электромагнитного поля, а εμνρσ — полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты. Это уравнение выражает аксиальную аномалию, также называемую аномалией Абелева-Беля. Она не нарушает калибровочную инвариантность и проявляется, например, в распаде π0 → γγ, который был бы запрещён при строгом сохранении аксиального тока.
Существенно более критичными являются аномалии, затрагивающие калибровочные симметрии. Если калибровочный ток, ассоциированный с симметрией G, перестаёт быть сохраняемым на квантовом уровне, то теряется унитарность и перенормируемость теории. Такая теория становится неконсистентной и не может быть использована в качестве физической модели.
Простейший пример — теория со смешанной аномалией типа U(1) × G × G, где U(1) — абелева симметрия, а G — некоторая неабелева. Если соответствующая диаграмма с треугольной петлёй и двумя внешними калибровочными бозонами G и одним бозоном U(1) даёт ненулевый результат, то возникает нарушение калибровочной симметрии, и теория требует модификации.
Для устранения таких аномалий необходимо обеспечить отмену аномалий за счёт соответствующего подбора содержания фермионных полей. Это и есть условие аномальной консистентности.
Формально, аномалия — это несохранение токов, связанное с ненулевым вариационным производным действия по калибровочным параметрам при калибровочной трансформации. Математически она выражается как:
δαΓ[A] = ∫d4x αa(x)????a(x)
где Γ[A] — эффективное действие, αa(x) — параметры калибровочной трансформации, а ????a(x) — выражение аномалии. Аномалия не может быть устранена добавлением локального функционала к действию, если она не выражается как полная производная (т.е. не является тривиальной).
Аномалии тесно связаны с топологией пространства конфигураций. Они могут быть проинтерпретированы как элементы характеристических классов в теории расслоений. В частности, аксиальная аномалия соотносится с вторым классом Черна, а гравитационные аномалии — с классами Понтрягина. Их вычисление может быть выполнено с использованием метода индекса оператора Дирака (теорема Атьиа–Зингера).
Такой подход позволяет определить, возможна ли теория без аномалий, до проведения конкретных квантовых расчётов, на основании геометрических и топологических свойств многообразия и векторных расслоений.
Для теории Янга–Миллса с фермионами в различных представлениях группы G, необходимо выполнение следующих условий отмены аномалий:
∑фермионыTr(Ta{Tb, Tc}) = 0
∑фермионыTr(Ta) = 0
Важный результат состоит в том, что если фермионы находятся в аннулирующих друг друга представлениях, то общая аномалия может исчезать. Именно это происходит в Стандартной модели элементарных частиц: она построена так, что все потенциальные калибровочные аномалии между фермионами первого поколения взаимно уничтожаются.
Проверка аномальной консистентности в Стандартной модели — это тонкий и важный тест. Рассматриваются возможные типы аномалий:
Во всех этих случаях сумма вкладов от лептонов и кварков каждого поколения даёт нуль. Это означает, что Стандартная модель не содержит калибровочных аномалий, и, следовательно, является квантово-согласованной теорией.
В теориях Великого объединения, таких как SU(5) или SO(10), вопрос аномалий играет ещё более критичную роль. Требование отсутствия аномалий в представлениях объединённой группы строго ограничивает возможные схемы объединения и выбор содержания фермионов.
Аналогично, в теориях с супергравитацией или суперсимметрией аномалии должны исчезать как для бозонных, так и для фермионных партнёров. Это приводит к условиям, накладываемым на спектр суперпартнёров и калибровочные группы.
В некоторых случаях допустимы механизмы компенсации аномалий, при которых добавляются дополнительные поля, устраняющие нарушение симметрии. Например:
Однако эти подходы требуют строгой теоретической и экспериментальной обоснованности и не всегда применимы в произвольных моделях.
Кроме калибровочных, существуют также гравитационные аномалии, возникающие в теориях с фермионами при взаимодействии с искривлённым пространством-временем. Они проявляются как нарушение диффеоморфной инвариантности.
Ещё один класс — глобальные аномалии, такие как аномалия Виттена в SU(2), возникающая при рассмотрении нелокальных (глобальных) аспектов симметрии. Они не проявляются в локальной квантовой теории, но влияют на глобальные свойства конфигураций и на возможность квантования теории.
Аномалии являются неотъемлемым компонентом квантовой теории поля, отражающим её тонкую структуру. Их изучение — ключ к пониманию ограничений на допустимые модели элементарных частиц и потенциальных направлений за пределами Стандартной модели.