Численные методы в теории поля

Методы решеточной регуляризации в квантовой теории поля

Одним из центральных подходов численного анализа в квантовой теории поля (КТП) является использование решётки как способа регуляризации и последующего перехода к непрерывной теории. Решётка позволяет перевести формализмы КТП, особенно в области сильных взаимодействий, в форму, пригодную для численного моделирования.

Формализм решёточной теории: дискретизация пространства-времени

Пространственно-временной континуум заменяется гиперкубом размерности d = 4, состоящим из конечного числа узлов N⁴, разделённых шагом решётки a. Полевые переменные (например, фермионные поля ψ(x) или калибровочные поля A_μ(x)) определяются в узлах (для скаляров и фермионов) и на рёбрах (для калибровочных полей).

Простейший способ дискретизации — центральная разностная аппроксимация производных. Например, производная поля ϕ(x) по направлению μ записывается как:

$$ \partial_\mu \phi(x) \to \frac{\phi(x + a \hat\mu) - \phi(x - a \hat\mu)}{2a} $$

Это приближение сохраняет точность порядка O(a²), но может нарушать симметрии, такие как лоренц-инвариантность, которая восстанавливается лишь в пределе a → 0.

Калибровочные поля на решётке: формализм Вильсона

Вильсоновская формулировка вводит калибровочные поля через матрицы переноса:

U_μ(x) = e^iagA_μ(x)

Эти матрицы принадлежат группе SU(N), соответствующей выбранной теории. Калибровочная инвариантность сохраняется при замене производных на калибровочно-инвариантные комбинации матриц U_μ(x). Действие Янга-Миллса на решётке записывается через петлевые перемножения матриц U_μ вокруг элементарного плакета (plaquette), формируя вильсоновское действие:

$$ S = \frac{\beta}{N} \sum_{x,\mu<\nu} \text{Re} \, \text{Tr} \left[1 - U_{\mu\nu}(x)\right] $$

где U_μν(x) — ориентированный продукт четырёх матриц U_μ, обходящих элементарный квадрат в плоскости μν.

Фермионы на решётке: проблема дублирования и методы решения

При наивной дискретизации фермионного действия возникает проблема дублирования: в решёточной теории появляются дополнительные “мнимые” фермионы (дубли), число которых растёт экспоненциально с размерностью пространства-времени. Это следствие теоремы Нильсена–Ниномии.

Для её обхода используют следующие подходы:

Фермионы Вильсона: добавляется член −ra□ψ(x), разрушающий нежелательные нули дисперсионного отношения. Это устраняет дублирование, но нарушает хиральную симметрию.
Фермионы Когена–Сассмана (стаггерированные): уменьшение числа дубликатов до минимально возможного числа (в 4D — до четырёх).
Оверлэп-фермионы и доменные стенки: вводятся дополнительные размерности или операторы, сохраняющие хиральную симметрию при устранении дублирования, но требуют значительных вычислительных ресурсов.

Интегрирование по конфигурациям: метод Монте-Карло

Численные расчёты основаны на выборке конфигураций поля, пропорционально их вкладу в функциональный интеграл:

$$ \langle \mathcal{O} \rangle = \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}\phi\, \mathcal{O}[\phi]\, e^{-S[\phi]} $$

Такие интегралы недоступны аналитически, но могут быть приближены методом выборки по методу Монте-Карло, в частности, алгоритмами Метрополиса, Гиббса или гибридного монте-карло (HMC) для фермионных теорий. На практике генерируется последовательность конфигураций с помощью марковских процессов, удовлетворяющих детальному балансу и эргодичности.

Фермионный детерминант и его вычисление

Для теорий с динамическими фермионами функциональный интеграл принимает вид:

Z = ∫????U det (D[U]) e^−S_G[U]

где D — дискретизированный фермионный оператор. Прямое вычисление детерминанта det D невозможно при больших размерах решётки, поэтому используют стохастические методы, такие как псевдофермионы, или приближённые инверсии с помощью итерационных алгоритмов: конъюгированный градиент, BiCGStab и др.

Физические наблюдаемые и их извлечение

Ключевой задачей является извлечение физических величин — масс, констант связи, констант распада. Для этого вычисляют корреляционные функции:

$$ C(t) = \sum_{\vec{x}} \langle 0 | \mathcal{O}(\vec{x}, t) \mathcal{O}^\dagger(\vec{0}, 0) | 0 \rangle $$

На больших временах t коррелятор убывает экспоненциально:

C(t) ∼ Ae^−mt

где m — масса частицы, связанной с оператором ????. Путём подгонки функции к данным можно определить m с высокой точностью.

Ошибки и систематические неопределённости

При численном моделировании необходимо контролировать:

Шаг решётки a: для получения физических результатов требуется предельный переход a → 0.
Объём решётки: малый объём приводит к искажению инфракрасных свойств. Используют объёмы порядка (3 ÷ 5 fm)⁴.
Автокорреляции: последовательные конфигурации в цепочке Монте-Карло могут быть коррелированы, что требует тщательной обработки статистических ошибок.
Нестабильность инверсий: особенно вблизи физического предела лёгких кварков.

Приложения решёточной КХД

Методы решёточной теории поля нашли широкое применение в вычислениях в квантовой хромодинамике (КХД), включая:

Вычисление масс адронов: m_π, m_K, m_N, m_ρ и др.
Изучение структуры нуклонов: формфакторы, распределения моментов.
Фазовая диаграмма КХД: переход от адронной материи к кварк-глюонной плазме.
Изучение нарушения CP и расчёт параметров матрицы Кабиббо–Кобаяши–Маскавы.

Альтернативные численные методы в КТП

Хотя решётка является стандартом для сильносвязанных теорий, существуют и иные методы численного анализа:

Диагонализация гамильтонианов: эффективна в низкоразмерных системах.
Функции Грина в евклидовой формализации: применяются для приближённого анализа теорий.
Гамильтоновы методы на решётке: альтернативная к пути интеграла формализация.
Функциональные ренормгрупповые методы: численное решение уравнений потока эффективного действия.

Проблемы и перспективы

Одной из фундаментальных проблем остаётся сигнальная проблема (sign problem) — невозможность применить методы Монте-Карло к теориям с комплексным действием, таким как КХД при конечной плотности барионного числа. Это делает недоступным численное исследование важных областей фазовой диаграммы.

В будущем развитие алгоритмов (например, комплексные стохастические процессы, вариационные методы, методы машинного обучения), увеличение производительности суперкомпьютеров и использование квантовых вычислений обещают радикально расширить возможности численного анализа в теории поля.