Дискретизация континуальных теорий

Континуальные теории, такие как квантовая теория поля, описывают физические величины как непрерывно распределённые по пространству и времени. Однако для численного анализа, построения решётчатых моделей и в рамках некоторых подходов к квантовой гравитации возникает необходимость в дискретизации — переходе от непрерывного описания к описанию на дискретной сетке. Дискретизация играет ключевую роль в понимании нелинейной динамики, не perturbative эффектов и в проверке теорий на суперкомпьютерах.

Пространственно-временная решётка и дискретные поля

В простейшем случае пространство-время заменяется регулярной гиперкубической решёткой с шагом a. Пространственные точки описываются дискретным набором координат:

xμ = nμa,  nμ ∈ ℤ.

Поля ϕ(x) заменяются на функции на решётке: ϕn = ϕ(nμa).

Для дифференцирования вводятся конечные разности. Например, симметричная производная записывается как:

$$ \partial_\mu \phi(x) \to \frac{\phi_{n + \hat\mu} - \phi_{n - \hat\mu}}{2a}. $$

А лапласиан — как:

$$ \Box \phi(x) \to \frac{1}{a^2} \sum_\mu \left( \phi_{n+\hat\mu} - 2\phi_n + \phi_{n-\hat\mu} \right). $$

Дискретизация действия

Для скалярного поля с лагранжианом

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi^4 $$

соответствующее дискретное действие принимает вид:

$$ S[\phi] = a^d \sum_n \left[ \frac{1}{2a^2} \sum_\mu (\phi_{n+\hat\mu} - \phi_n)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi_n^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi_n^4 \right]. $$

Такой подход лежит в основе решёточной квантовой теории поля (Lattice Quantum Field Theory, LQFT).

Калибровочные поля на решётке

Калибровочные поля Aμ(x) дискретизируются не как значения на узлах, а как элементы групп Ли, приписанные рёбрам решётки:

Uμ(n) = eiagAμ(n) ∈ SU(N).

Калибровочная инвариантность реализуется автоматически при введении параллельного переноса через линк-переменные. Кривизна поля (т.е. тензор напряжённости Fμν) дискретизируется с помощью плейкетов:

Uμν(n) = Uμ(n)Uν(n + μ̂)Uμ†(n + ν̂)Uν†(n).

Действие Янга–Миллса на решётке (в формулировке Вильсона) имеет вид:

$$ S = \frac{\beta}{N} \sum_n \sum_{\mu<\nu} \text{Re} \, \text{Tr} \left[ 1 - U_{\mu\nu}(n) \right], \quad \beta = \frac{2N}{g^2}. $$

Фермионы на решётке и проблема удвоения

Наивная дискретизация фермионного лагранжиана приводит к удвоению фермионов: вместо одного фермионного поля в непрерывном пределе возникает 16 (в 4D) дублирующих полей. Это явление — проблема удвоения Наймана — обусловлено периодичностью в импульсном пространстве дискретной решётки.

Существует несколько способов устранения удвоений:

  • Фермионы Вильсона: добавляется член r□ψ, нарушающий хиральную симметрию, но подавляющий лишние моды.
  • Фермионы Когера–Свенигена: частичное сохранение хиральности с помощью более сложных операторов.
  • Фермионы Гинзпарга–Уилсона: обеспечивают хиральную симметрию на решётке через модифицированное условие.

Континуальный предел

Переход к непрерывной теории осуществляется при a → 0, при этом параметры теории (например, масса, константа связи) требуют перенормировки, чтобы обеспечить конечный результат. В этом континуальном пределе восстанавливаются:

  • Локальная калибровочная симметрия
  • Лоренцева инвариантность
  • Все релятивистские свойства полей

Однако решёточная теория в конечном объёме играет роль регулятора: она обеспечивает конечное число степеней свободы и устраняет ультрафиолетовые расходимости.

Численные методы и решёточные симуляции

Численное исследование решёточных теорий требует методов Монте-Карло и обновлений конфигураций поля по методу Метрополиса, тепловых ванн и других. Особенно активно развиваются вычисления в решёточной КХД (Lattice QCD), где удаётся численно получать:

  • Спектр адронов
  • Константы распада
  • Калибровочные потенциалы

Сложность вычислений возрастает с уменьшением шага a, увеличением объёма V и при приближении массы фермионов к реалистическим значениям. Требуется значительная суперкомпьютерная мощность.

Дискретизация в подходах к квантовой гравитации

В теориях квантовой гравитации (например, петлевая квантовая гравитация, спиновые сети, каузальные динамические триангуляции) дискретность пространства-времени вводится фундаментально. В этих подходах предполагается, что континуум возникает как эффективное описание на больших масштабах.

В таких моделях:

  • Пространство-время представляется в виде графов, тетрад и триангуляций
  • Геометрические величины, такие как площадь и объём, квантуются
  • Переходы между геометриями описываются с помощью сумм по историям

Теоремы и ограничения дискретизации

Существует ряд фундаментальных результатов, ограничивающих возможности дискретизации:

  • Теорема Наймана: невозможность сохранить одновременно локальность, хиральную симметрию и отсутствие удвоения при линейной дискретизации фермионов.
  • Теорема Белла–Сондерса о невозможности точной реализации всех непрерывных симметрий на дискретной решётке.
  • Теорема о восстановлении: утверждает, что при правильной дискретизации и подходящих условиях возможно восстановление всех физических симметрий в континуальном пределе.

Дискретизация как регулятор и физический инструмент

В контексте квантовых теорий поля дискретизация играет двоякую роль:

  1. Регулятивную — подавление ультрафиолетовых расходимостей, аналогично регуляризации в ренормализационной группе.
  2. Физическую — моделирование не perturbative эффектов, таких как конфайнмент, спонтанное нарушение симметрий и вакуумная структура.

Особенно значимо это в случае теорий, где аналитическое решение невозможно, а также в исследованиях, требующих проверки симметрий на всех масштабах.

Перспективы и открытые проблемы

Несмотря на успехи дискретизации, остаются нерешённые вопросы:

  • Как сформулировать дискретизацию, сохраняющую все симметрии?
  • Можно ли использовать нерегулярные решётки или адаптивные сетки?
  • Какова связь между фундаментальной дискретностью и наблюдаемым континуумом?

Поиск универсального метода, сочетающего численную точность, симметрийные свойства и удобство аналитического анализа, остаётся одной из актуальных задач современной теоретической физики.

Оглавление