В физике высоких энергий широко используется система естественных единиц, в которой фундаментальные константы принимаются равными единице:
Такой подход существенно упрощает выражения и уравнения, устраняя громоздкие коэффициенты и облегчая анализ масштабов физических процессов.
Основной мотивацией к использованию естественных единиц является то, что в микромире все фундаментальные процессы зависят от комбинаций этих констант. Например, длина, энергия и время тесно взаимосвязаны через ℏ и c, и в подходящих единицах можно выразить все измеряемые величины через одну базовую размерность — обычно выбирают энергию, выражаемую в электронвольтах (эВ).
Электронвольт (эВ) — это энергия, которую приобретает электрон, проходя через разность потенциалов в 1 вольт:
1 эВ = 1.602 × 10−19 Дж
В физике частиц вместо джоулей принято измерять:
Таким образом, масса, энергия, длина и время становятся взаимозаменяемыми величинами.
Для понимания, как переход осуществляется на практике, рассмотрим:
E = ℏω ⇒ E = ω (в естественных единицах)
E2 = p2c2 + m2c4 ⇒ E2 = p2 + m2
$$ \lambda_C = \frac{\hbar}{mc} \quad \Rightarrow \quad \lambda_C = \frac{1}{m} $$
Таким образом, масса становится обратной длиной, а длина измеряется в эВ−1.
В естественных единицах размерности выражаются через степень энергии. Примеры:
| Величина | Обозначение | Размерность (в энергии) |
|---|---|---|
| Энергия | E | [E]1 |
| Масса | m | [E]1 |
| Импульс | p | [E]1 |
| Время | t | [E]−1 |
| Длина | x | [E]−1 |
| Поле (скалярное, фермионное) | ϕ, ψ | зависит от теории, например, [E]1, [E]3/2 |
| Константа связи (в КТП) | g | зависит от взаимодействия, например, [E]0 (безразмерная), или [E]−1 |
Такая унификация упрощает анализ калибровочных теорий и ренормализации, особенно при оценке размерностей операторов в лагранжианах.
В СИ часто появляются фундаментальные константы: c, ℏ, G, kB, которые делают уравнения сложнее. Например, формула энергии покоя:
E = mc2
В естественных единицах c = 1, и она приобретает вид:
E = m
Подобным образом, лагранжианы и амплитуды взаимодействий выглядят компактнее. Например, в Квантовой электродинамике лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi $$
в естественных единицах не содержит c и ℏ, и анализ размерностей становится прямолинейным.
Для возврата к привычным единицам необходимо восстановить ℏ и c. Полезны следующие соотношения:
Пример: длина L = 1 ГеВ−1 соответствует:
$$ L \approx \frac{\hbar c}{1~\text{ГеВ}} \approx \frac{197~\text{МэВ·фм}}{1000~\text{МэВ}} \approx 0.197~\text{фм} $$
Энергии порядка 1 ТэВ соответствуют длинам ∼ 10−4 фм, что отражает глубину проникновения современных коллайдеров.
Наиболее фундаментальная система единиц основана на комбинации ℏ, c и гравитационной постоянной G. Планковские величины определяются как:
Планковская длина:
$$ l_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \approx 1.616 \times 10^{-35}~\text{м} $$
Планковская масса:
$$ m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \approx 2.18 \times 10^{-8}~\text{кг} \approx 1.22 \times 10^{19}~\text{ГеВ} $$
Планковское время:
$$ t_P = \frac{l_P}{c} \approx 5.39 \times 10^{-44}~\text{с} $$
Эти величины устанавливают фундаментальные масштабы: ниже lP теория гравитации перестаёт быть применима без квантовой гравитации, а энергия порядка mP считается границей применимости стандартной модели.
При расчётах в физике элементарных частиц важно:
Некоторые обозначения в высокоэнергетической физике являются стандартом:
Массы элементарных частиц:
Масштабы энергии:
Ключевая роль размерностей в КТП проявляется в анализе:
Такой анализ невозможен без явного понимания размерностей в естественных единицах.
Многие теоретические модели формулируются исключительно в естественных единицах:
Это позволяет рассматривать переходные масштабы — от массы фермионов до масштаба Плана — в единой системе отсчёта.