В современной физике элементарных частиц эффективные теории поля (ЭТП) представляют собой фундаментальный инструмент описания явлений, происходящих на различных энергетических шкалах. ЭТП формулируются как приближённые теории, действительные в ограниченном диапазоне энергий, при этом они учитывают лишь те степени свободы, которые являются релевантными при данной энергии, и игнорируют детали микроскопической структуры, несущественные для рассматриваемых процессов.
Подход эффективного поля позволяет строить описания физических систем без знания полной теории на фундаментальном уровне. Например, квантовая хромодинамика (КХД) на низких энергиях заменяется эффективной теорией хирального поля, описывающей взаимодействия пионов как голдстоуновских бозонов.
Ключевым понятием ЭТП является процедура «интегрирования» по тяжёлым полям — исключение из лагранжиана степеней свободы, масса которых значительно превышает масштаб энергии интересующих процессов. В функциональном интеграле это выражается как:
eiSэфф[ϕ] = ∫????Φ eiS[ϕ, Φ],
где ϕ — легкие поля, Φ — тяжелые, S — полная теория, а Sэфф — эффективное действие. Результатом такого интегрирования является бесконечный ряд операторов, организованных по размерности и подавленных соответствующими степенями некоторого большого масштаба Λ (например, массы тяжелой частицы или масштаба новой физики).
Эффективный лагранжиан записывается как серия:
$$ \mathcal{L}_{\text{эфф}} = \mathcal{L}_0 + \frac{1}{\Lambda} \mathcal{L}_1 + \frac{1}{\Lambda^2} \mathcal{L}_2 + \cdots, $$
где ℒ0 содержит операторы размерности ≤ 4, сохраняющие ренормализуемость, а ℒ1, 2, … — операторы более высокой размерности, описывающие неренормализуемые взаимодействия, подавленные соответствующими степенями Λ.
Такой подход является строго контролируемым в рамках теории возмущений, поскольку каждый следующий порядок в 1/Λ даёт всё меньший вклад при энергиях E ≪ Λ.
Построение эффективного лагранжиана начинается с определения симметрий (локальных и глобальных), которые должна удовлетворять теория. Все возможные операторы, инвариантные относительно этих симметрий, упорядочиваются по размерности. К примеру, если теория инвариантна относительно калибровочной группы SU(3)×SU(2)×U(1), то допустимые операторы должны быть инвариантны при её трансформациях.
Пример: в стандартной модели (СМ) нейтрино считаются безмассовыми. Однако, добавление неренормализуемого оператора размерности 5:
$$ \mathcal{O}_5 = \frac{1}{\Lambda} (L H)(L H), $$
где L — лептонный дублет, а H — хиггсовский дублет, даёт массу нейтрино после спонтанного нарушения симметрии. Этот оператор — часть эффективной теории, указывающий на физику за пределами СМ.
1. Хиральная эффективная теория (χPT) На низких энергиях КХД переходит в χPT — теорию взаимодействия пионов, каонов и эта-мезонов как голдстоуновских бозонов, возникающих из спонтанного нарушения хиральной симметрии SU(3)_L × SU(3)_R. Хиральный лагранжиан строится из производных мезонных полей, организованных в расширение по p2/Λχ2, где Λχ ∼ 1 ГэВ — хиральный масштаб.
2. Теория Ферми слабых взаимодействий До открытия промежуточных бозонов слабое взаимодействие описывалось неренормализуемой теорией Ферми с 4-фермионным оператором:
$$ \mathcal{L}_{\text{Ферми}} = -\frac{G_F}{\sqrt{2}} (\bar{\psi}_e \gamma^\mu \psi_\nu)(\bar{\psi}_u \gamma_\mu \psi_d), $$
которая является эффективным пределом стандартной модели при энергиях E ≪ MW, где MW — масса W-бозона.
3. Теория тяжёлого кварка (HQET) Для описания свойств тяжёлых кварков c, b в мезонах типа B, D, применяется HQET, в которой лагранжиан разворачивается по степеням ΛQCD/mQ, где mQ — масса тяжёлого кварка. Основное упрощение — приближение кварка как источника фиксированного четырёхимпульса (предельная скорость), приводящее к спиновым и вкусовым симметриям.
4. Стандартная модель как эффективная теория
Стандартную модель можно рассматривать как эффективную теорию, валидную до некоторого масштаба Λ, за которым начинается новая физика. В этом контексте стандартную модель расширяют операторной базой SMEFT (Standard Model Effective Field Theory), включающей все операторы размерности 5 и выше, инвариантные относительно SU(3)×SU(2)×U(1), и подавленные соответствующими степенями Λ.
SMEFT позволяет систематически описывать отклонения от СМ, возникающие из-за эффектов тяжелых частиц или новых взаимодействий, ещё не наблюдаемых экспериментально.
Несмотря на то что эффективные теории нередко неренормализуемы, они остаются предсказуемыми и пригодными для вычислений. При введении регуляризующего параметра (например, в размерной регуляризации) и последующей ренормализации с учётом ограниченного набора операторов до определённой размерности можно получить конечные, физически осмысленные результаты. Появление новых расходимостей компенсируется введением соответствующих контрчленов, а число параметров, необходимых для предсказания, ограничено выбранным порядком в 1/Λ.
Для контроля над вкладом различных операторов используется степенной счёт, основанный на определении размерности операторов и энергетической шкалы. Кроме того, в эффективных теориях существенную роль играет масштабная зависимость (анализ ренормализационной группы), позволяющая отслеживать, как параметры (например, коэффициенты операторов) «текут» при изменении масштаба.
Для связи эффективной теории с полной (ультрафиолетовой) теорией используется процедура matchингa — сопоставления амплитуд процессов в обоих описаниях на граничном масштабе μ ∼ Λ. Это позволяет выразить коэффициенты операторов эффективного лагранжиана через параметры полной теории.
Пример: интегрирование по тяжелому бозону Z′ массы MZ′ с куплингом g′ приводит к оператору (ψ̄γμψ)2 с коэффициентом ∼ g′2/MZ′2.
Основу формализма ЭТП составляет подход Вильсона, предложенный в теории критических явлений и перенесённый в квантовую теорию поля. Суть — последовательное «отсеивание» высокоэнергетических мод и переформулирование теории на более низкой шкале с новой эффективной динамикой. Это приводит к «потоку» теорий при изменении масштаба — ключевому понятию ренормализационной группы.
ЭТП применимы только при соблюдении условий:
Несоблюдение этих условий может привести к неконтролируемым отклонениям и потере предсказательной силы.
Эффективные теории используются в анализе данных в коллайдерах (например, в LHC), при построении глобальных фиттов (например, SMEFT или HEFT), в расчётах распадов редких процессов, при описании нейтрино-осцилляций, в тёмной материи и астрофизике. Они позволяют получать ограничения на масштабы новой физики, даже если соответствующие частицы не наблюдаются напрямую.
Эффективные теории поля стали краеугольным камнем современного физического мышления: от феноменологии до фундаментальной теории. Их мощь заключается в способности формулировать универсальные, симметрийные описания, независимые от деталей микроскопической реализации.