Эволюция партонных распределений

Партонные распределения (PDF — Parton Distribution Functions) описывают вероятность нахождения в быстро движущемся адроне партонов (кварков и глюонов) с заданной долей продольного импульса x при масштабах взаимодействия Q2. Эти функции не являются фиксированными: они зависят от масштаба процесса и эволюционируют при изменении Q2. Динамика этой эволюции определяется уравнениями Докшицера–Гримова–Липатова–Альтарелли–Паризи (DGLAP).

Основы эволюции: логарифмическая зависимость от масштаба

В квантовой хромодинамике (КХД) масштаб Q2, характеризующий глубину процесса рассеяния (например, в глубоконеупругом рассеянии — ГНР), играет ключевую роль. При увеличении Q2 происходит «разрешение» более коротких расстояний, и внутреннее строение адрона проявляется всё более детально. Это приводит к изменению партонных распределений — особенно к появлению новых партонов в результате излучения глюонов и расколов.

Пусть fi(x, Q2) — плотность вероятности обнаружить партон типа i с долей импульса x при масштабе Q2. DGLAP-уравнения описывают эволюцию fi(x, Q2) по ln Q2:

$$ \frac{\partial f_i(x, Q^2)}{\partial \ln Q^2} = \sum_j \int_x^1 \frac{dz}{z} \, P_{ij}(z, \alpha_s(Q^2)) \, f_j\left(\frac{x}{z}, Q^2\right), $$

где Pij(z) — функции расщепления (splitting functions), описывающие вероятность распада/излучения партонов. Эти функции зависят от z — доли импульса, передаваемой при расщеплении, и от постоянной связи αs.

Интерпретация функций расщепления

Функции Pij(z) имеют простую физическую интерпретацию: они выражают вероятность, что партон j расщепляется на партон i, уносящий долю z от импульса начального.

Ведущие функции расщепления на уровне одного глюона:

  • Кварк на кварк:

    $$ P_{qq}(z) = C_F \left[ \frac{1+z^2}{(1-z)_+} + \frac{3}{2}\delta(1-z) \right], $$

  • Кварк на глюон:

    Pqg(z) = TR[z2 + (1 − z)2],

  • Глюон на кварк:

    $$ P_{gq}(z) = C_F \left[ \frac{1 + (1 - z)^2}{z} \right], $$

  • Глюон на глюон:

    $$ P_{gg}(z) = 2C_A \left[ \frac{z}{(1-z)_+} + \frac{1-z}{z} + z(1-z) \right] + \left( \frac{11}{6}C_A - \frac{n_f}{3}T_R \right)\delta(1-z), $$

где $C_F = \frac{4}{3}$, CA = 3, $T_R = \frac{1}{2}$, nf — число активных кварков. Плюс-регуляризация (1 − z)+ устраняет ультрафиолетовую расходимость при z → 1.

Решение уравнений DGLAP

Поскольку уравнения DGLAP являются интегро-дифференциальными, они не имеют простого аналитического решения в общем виде. На практике используют следующие методы:

  • Мелин-преобразование: преобразует уравнение в алгебраическое, удобное для решения в пространстве моментов. После решения проводится обратное преобразование.
  • Метод Рунге–Кутты и подобные численные схемы: интегрирование уравнений в x-пространстве на дискретной сетке.
  • Методы Монте-Карло: применимы для генерации событий в рамках алгоритмов эволюции, реализуемых в партонных каскадах.

Решения этих уравнений служат основой для предсказания распределений при различных масштабах процессов на ускорителях.

Эволюция с учетом порядков возмущения

Уравнения DGLAP могут быть решены в разных порядках по αs:

  • LO (Leading Order) — учет только первого члена в разложении по αs;
  • NLO (Next-to-Leading Order) — учитываются дополнительные диаграммы с одним виртуальным глюоном;
  • NNLO и выше — необходимы для высокой точности в сравнении с экспериментом, особенно при анализе данных с LHC.

С повышением порядка функции расщепления усложняются, возрастает чувствительность к выбору схемы перенормировки (например, MS̄-схема).

Эволюция кварковых и глюонных распределений

Полная система DGLAP уравнений описывает совместную эволюцию:

  • Синглетная компонента — сумма всех кварковых плотностей и глюонов, эволюционирующая через матрицу 2 × 2:

    $$ \frac{\partial}{\partial \ln Q^2} \begin{pmatrix} \Sigma(x,Q^2) \\ g(x,Q^2) \end{pmatrix} = \int_x^1 \frac{dz}{z} \begin{pmatrix} P_{qq}(z) & P_{qg}(z) \\ P_{gq}(z) & P_{gg}(z) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Sigma(x/z,Q^2) \\ g(x/z,Q^2) \end{pmatrix}, $$

    где $\Sigma = \sum_{i=1}^{n_f} [q_i + \bar{q}_i]$ — синглетная комбинация.

  • Несинглетные компоненты — разности распределений, такие как qi − q̄i, эволюционируют независимо (декуплируются) и не зависят от глюонной компоненты.

Начальные условия и глобальные подгоны

Поскольку DGLAP-уравнения требуют начальные условия, необходимо задать функции fi(x, Q02) на некотором стартовом масштабе Q02. Эти функции не вычисляются из первых принципов, а извлекаются из экспериментов, таких как:

  • Глубоконеупругое рассеяние лептонов на нуклонах (HERA, SLAC);
  • Процессы в протон-протонных столкновениях (Tevatron, LHC);
  • Drell–Yan-процессы и бозонные производства.

Такой анализ называется глобальным подгоном. Он осуществляется с помощью специализированных пакетов (CTEQ, MMHT, NNPDF), обеспечивающих согласованные с данными наборы PDF с определёнными ошибками.

Малые и большие значения x

Эволюция в DGLAP особенно чувствительна к различным диапазонам x:

  • При малых x (высокие энергии, малые доли импульса): глюоны доминируют. DGLAP предсказывает рост глюонных распределений при росте Q2, что приводит к каскадной генерации кварков. Однако, при очень малых x важны нелинейные эффекты, выходящие за пределы DGLAP.
  • При больших x (где x → 1): распределения подавляются, но становятся доминирующими вклады валентных кварков. Эволюция в этом режиме замедляется.

Связь с экспериментом и приложениями

Понимание эволюции PDF необходимо для точного предсказания сечений в коллайдерной физике. Уравнения DGLAP:

  • Лежат в основе предсказаний производств бозонов W, Z, бозона Хиггса, тяжёлых кварков и новых гипотетических частиц.
  • Используются для извлечения значений αs(Q2), числа кварковых поколений и тестов масштабной инвариантности.
  • Позволяют связывать эксперименты при различных энергетических масштабах.

Таким образом, эволюция партонных распределений — фундаментальный компонент теоретической структуры КХД, обеспечивающий мост между микроскопической динамикой и макроскопически наблюдаемыми явлениями.

Оглавление