Фейнмановские диаграммы

Фейнмановские диаграммы — это графическое представление членов разложения по теории возмущений в квантовой теории поля, особенно в квантовой электродинамике (КЭД), квантовой хромодинамике (КХД) и электрослабом взаимодействии. Эти диаграммы позволяют интуитивно и наглядно интерпретировать взаимодействия элементарных частиц, а также систематизировать расчёты сечений процессов и амплитуд переходов.

Каждая фейнмановская диаграмма соответствует математическому выражению — амплитуде вероятности, которую можно получить по определённым правилам, называемым правилами Фейнмана. Они зависят от используемой теории и лагранжиана.

Элементы фейнмановских диаграмм

Вершины взаимодействия. Вершины представляют собой фундаментальные взаимодействия между полями. В КЭД, например, существует только один тип вершины — соединение электронной линии, позитронной линии и фотона.

Внутренние линии (пропагаторы). Линии между вершинами, не связанные с внешними точками, соответствуют виртуальным частицам. Они не соблюдают соотношение энергии и импульса как на оболочке (off-shell), в отличие от реальных частиц.

Внешние линии. Это линии, соответствующие входящим и исходящим частицам в рассматриваемом процессе. Им приписываются спиноры, векторы поляризации и другие объекты, зависящие от типа частицы.

Типы линий.

  • Сплошные линии с направлением: фермионы (например, электроны, кварки).
  • Волнистые линии: бозоны калибровочных полей (например, фотоны, W и Z).
  • Спиралевидные линии: глюоны.
  • Пунктирные или штриховые линии: скаляры (например, бозон Хиггса, голдстоуновские бозоны).
  • Петли: замкнутые цепочки виртуальных частиц, отражающие квантовые коррекции.

Правила Фейнмана

Правила Фейнмана позволяют перевести диаграмму в выражение для амплитуды. Они строятся из:

  • Лагранжиана теории, определяющего структуру взаимодействий;
  • Импульсного пространства, где диаграммы легче обрабатываются;
  • Интегрирования по четырёхимпульсам внутренних линий;
  • Факторов нормировки и статистики, включая знаки для перестановок фермионов.

Для каждой вершины и линии определяются математические выражения, которые перемножаются и интегрируются по всем виртуальным импульсам. Например, в КЭД:

  • Вершина взаимодействия электрон-фотон даёт фактор −ieγμ;
  • Фермионный пропагатор: $\frac{i(\not{p} + m)}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$;
  • Пропагатор фотона: $\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$.

Временная и ковариантная формулировки

Фейнмановские диаграммы можно трактовать либо как развёртку во времени (временная формулировка), либо как полностью релятивистские (ковариантная формулировка), где ось времени не фиксируется. Последний подход преобладает в современных вычислениях, особенно в четырёхмерном импульсном пространстве.

Калибровочные симметрии и правила отбора

В калибровочных теориях, таких как КЭД и КХД, диаграммы подчиняются дополнительным условиям:

  • Закон сохранения заряда в вершинах;
  • Условия калибровочной инвариантности, приводящие к тождествам Вардена — Тakahashi;
  • В КХД — цветовая структура, требующая суммирования по цветовым индексам и использующая матрицы SU(3).

Петли и квантовые поправки

Диаграммы с петлями учитывают квантовые эффекты, такие как самодействие частиц, вакуумная поляризация, аннигиляционные поправки и т. д. Примеры:

  • Коррекция к импульсу электрона (электронная самоперенормировка);
  • Поляризация вакуума — петля из фермионной пары в фотонной линии;
  • Вершинные поправки — изменение структуры взаимодействия на вершине.

Эти диаграммы часто расходящиеся, и требуют перенормировки: процесса регуляризации и вычитания бесконечностей с помощью введения контрчленов в лагранжиан.

Пример: рассеяние электрон-позитрон → мюон-анти-мюон

На уровне дерева (наименьшего порядка теории возмущений) данный процесс описывается одной диаграммой: электрон и позитрон аннигилируют с излучением виртуального фотона, который затем рождает пару мюон-анти-мюон.

Диаграмма:

  • Входящие линии: электрон e− и позитрон e+;
  • Вершина: γμ;
  • Внутренняя линия: фотон с импульсом q;
  • Вторая вершина: γν;
  • Исходящие линии: μ−, μ+.

Амплитуда:

$$ \mathcal{M} = \bar{v}(p_2)\gamma^\mu u(p_1) \cdot \frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2} \cdot \bar{u}(k_1)\gamma^\nu v(k_2) $$

Квадрат модуля амплитуды после усреднения по спинам и суммирования даёт сечение рассеяния. С учётом фазового объёма можно получить наблюдаемое распределение по углу или энергии.

Диаграммы более высокого порядка

При включении поправок (например, радиационных) появляются дополнительные диаграммы:

  • Петли, модифицирующие вершины или линии;
  • Излучение дополнительного фотона (бреймовское излучение);
  • Эмиссия виртуальных бозонов (в теориях с электрослабым взаимодействием).

Эти члены могут быть важны при высокой точности измерений (например, в экспериментах LEP или LHC), и необходимы для сопоставления теории с наблюдаемыми величинами.

Фейнмановские правила для КХД

В КХД из-за нелинейности калибровочного поля глюонов фейнмановские диаграммы включают:

  • Взаимодействия глюон-глюон-глюон и глюон-глюон-глюон-глюон (тройные и четверные вершины);
  • Цветовые индексы и структуры fabc и Tija;
  • Пропагаторы и вершины со сложной структурой, в зависимости от выбранной калибровки.

Кроме того, необходимо учитывать призрачные поля (ghosts), которые появляются при квантизации с помощью калибровочной фиксации (например, в калибровке Фаддеева-Попова).

Диаграммы в электрослабой теории

В теории Глэшоу–Вайнберга–Салама фейнмановские диаграммы включают бозоны W±, Z и фотон γ. Особенности:

  • Изменение фермитипа (заряда) на вершинах с участием W±;
  • Наличие вершин, зависящих от слабого смешивания (угол Вайнберга);
  • Диаграммы с участием Хиггса и его взаимодействия с фермионами и бозонами.

Вычисление сечений и вероятностей

После построения всех фейнмановских диаграмм для заданного процесса необходимо:

  1. Написать амплитуду для каждой диаграммы по правилам Фейнмана.
  2. Просуммировать амплитуды (с учётом интерференции).
  3. Вычислить квадрат модуля полной амплитуды.
  4. Усреднить по спинам входящих частиц и просуммировать по спинам выходящих.
  5. Интегрировать по фазовому объёму и учесть симметрические коэффициенты.

Для более точных результатов важно включать также поправки от петель и перенормировок, особенно в точных экспериментах.

Графический и вычислительный инструментарий

Для автоматизации построения и расчётов фейнмановских диаграмм широко применяются специализированные программы:

  • FeynArts, FormCalc — генерация и обработка диаграмм.
  • CompHEP, MadGraph — генерация событий и сечений.
  • LoopTools, QGraf, FeynCalc — вычисление интегралов петель и символическая алгебра.

Эти пакеты особенно важны при работе с многопетлевыми диаграммами и в рамках Стандартной модели и её расширений.

Оглавление