Форм-факторы и структурные функции

Электромагнитные форм-факторы

Форм-факторы возникают как ключевые характеристики внутренней структуры частиц, когда рассматриваются взаимодействия, зависящие от распределения зарядов и токов внутри частиц. В контексте электромагнитного взаимодействия, форм-факторы описывают отклонение от точечного поведения заряженных частиц при рассеянии.

Для фермионов, таких как нуклоны, электромагнитный ток имеет следующую общую структуру:

$$ \langle N(p') | J^\mu_{\text{em}} | N(p) \rangle = \bar{u}(p') \left[ \gamma^\mu F_1(Q^2) + \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m} F_2(Q^2) \right] u(p), $$

где:

• F₁(Q²) — форм-фактор Дирака,
• F₂(Q²) — форм-фактор Паули,
• Q² = −q² — квадрат переданного импульса,
• m — масса нуклона,
• q = p′ − p.

Форм-факторы F₁ и F₂ связаны с распределением электрического заряда и магнитного момента внутри частицы. Их комбинации определяют электрический G_E(Q²) и магнитный G_M(Q²) форм-факторы:

$$ G_E(Q^2) = F_1(Q^2) - \frac{Q^2}{4m^2} F_2(Q^2), \quad G_M(Q^2) = F_1(Q^2) + F_2(Q^2). $$

Рассеяние лептонов на нуклонах и роль форм-факторов

В экспериментальной физике изучение форм-факторов происходит через процессы упругого электрон-нуклонного рассеяния. Дифференциальное сечение такого рассеяния в однофотонном приближении (формула Розенблута) выражается через G_E и G_M:

$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{\text{Мотт}} \left[ \frac{G_E^2(Q^2) + \tau G_M^2(Q^2)}{1 + \tau} + 2\tau G_M^2(Q^2) \tan^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) \right], $$

где:

• $\tau = \frac{Q^2}{4m^2}$,
• θ — угол рассеяния электрона.

Структурные функции в неупругом рассеянии

При переходе к глубоко неупругим процессам, где энергия передаётся значительная и возможна генерация новых частиц, форм-факторы заменяются структурными функциями, отражающими внутреннюю квазисвободную структуру адронов.

В глубоко неупругом рассеянии (deep inelastic scattering, DIS) электрон взаимодействует с кварками внутри нуклона. Адронный тензор W^μν, описывающий отклик нуклона на виртуальный фотон, выражается через две структурные функции F₁(x, Q²) и F₂(x, Q²):

$$ W^{\mu\nu} = \left( -g^{\mu\nu} + \frac{q^\mu q^\nu}{q^2} \right) F_1(x, Q^2) + \left( P^\mu - \frac{P \cdot q}{q^2} q^\mu \right) \left( P^\nu - \frac{P \cdot q}{q^2} q^\nu \right) \frac{F_2(x, Q^2)}{P \cdot q}, $$

где:

• $x = \frac{Q^2}{2P \cdot q}$ — переменная Бьёркена, интерпретируемая как доля импульса, переносимого кварком.

Предел Бьёркена и масштабная инвариантность

В пределе Q² → ∞, при фиксированном x, наблюдается масштабная инвариантность, проявляющаяся в независимости структурных функций от Q²: F_i(x, Q²) → F_i(x). Это наблюдение легло в основу кварковой модели Фейнмана.

Формально масштабная инвариантность нарушается за счёт квантово-хромодинамических (КХД) эффектов, в первую очередь — глюонного излучения и аннигиляции пар кварк-антикварк. Эти эффекты описываются уравнениями эволюции DGLAP:

$$ \frac{\partial f_i(x, Q^2)}{\partial \ln Q^2} = \sum_j \int_x^1 \frac{dz}{z} P_{ij}(z, \alpha_s(Q^2)) f_j\left( \frac{x}{z}, Q^2 \right), $$

где:

• f_i(x, Q²) — функция распределения партонов (PDF),
• P_ij(z) — расщепляющие функции, зависящие от α_s — пробегающей константы сильного взаимодействия.

Расщепляющие функции и логарифмическая эволюция

Расщепляющие функции P_ij(z) описывают вероятность излучения партоном j нового партонного состояния i, которое несёт долю z импульса. Они вычисляются в рамках пертурбативной КХД и позволяют определить поведение распределений при изменении масштаба Q². Для глюонов и кварков функции P_qq(z), P_qg(z), P_gq(z), P_gg(z) имеют различную структуру и определяют связанное развитие кварковой и глюонной компонент структуры адрона.

Связь форм-факторов и структурных функций

Форм-факторы можно интерпретировать как обобщение зарядовых распределений в импульсном пространстве, тогда как структурные функции отображают вероятности нахождения внутренних составляющих — кварков и глюонов — с определённой долей продольного импульса. Обе эти категории функций являются наблюдаемыми и напрямую связаны с экспериментальными сечениями.

Форм-факторы входят в описание упругих и резонансных процессов; структурные функции — в описание неупругих взаимодействий и глубоко неупругого рассеяния. При этом в переходной области (например, на границе между упругим и неупругим режимами) возникает концепция двойственности Квинна–Паскуала (Bloom–Gilman duality), где усреднение по возбуждённым состояниям даёт результат, близкий к прогнозу кварковой модели.

Поляризованные структурные функции

В случае поляризованных мишеней и лептонов вводятся дополнительные структурные функции, такие как g₁(x, Q²) и g₂(x, Q²), описывающие спиновую структуру нуклона. Эти функции возникают в антисимметричной части адронного тензора и критичны для изучения вклада кварков и глюонов в спин протона.

$$ W_A^{\mu\nu} = i\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} \frac{q_\alpha}{P \cdot q} \left[ S_\beta g_1(x, Q^2) + \left( S_\beta - \frac{S \cdot q}{P \cdot q} P_\beta \right) g_2(x, Q^2) \right], $$

где S^μ — вектор поляризации нуклона.

Обобщённые партонные распределения и переход к 3D-картине

Современные исследования выходят за рамки одномерных распределений по x, вводя обобщённые партонные распределения (GPD) и трансверсальные партонные распределения (TMD). Эти величины дают информацию не только о продольной, но и о поперечной структуре нуклона и позволяют формировать полную трёхмерную картину его внутреннего устройства.

GPD связывают форм-факторы с PDF через интегральные соотношения, например:

∫₋₁¹dx H(x, ξ, t) = F₁(t),  ∫₋₁¹dx E(x, ξ, t) = F₂(t),

где H и E — обобщённые распределения, t = q², ξ — скейлинг-переменная (скив).

Таким образом, форм-факторы, структурные функции и партонные распределения — взаимосвязанные элементы, раскрывающие сложное внутреннее строение адронов, находящихся в центре экспериментальных и теоретических исследований физики высоких энергий.