Симметрии играют фундаментальную роль в современной теоретической физике, особенно в теории элементарных частиц. Они не только определяют формы взаимодействий, но и являются основой законов сохранения, структуры лагранжианов, классификации элементарных частиц и механизмов спонтанного нарушения симметрии.
Различают глобальные и локальные (или калибровочные) симметрии. Эти классы симметрий различаются по тому, зависит ли параметр преобразования от координат пространства-времени.
Глобальные симметрии проявляются в инвариантности лагранжиана по отношению к преобразованиям, параметры которых не зависят от координат. Классическим примером является симметрия фазовой инвариантности комплексного скалярного поля:
ϕ(x) → ϕ′(x) = eiαϕ(x)
где α — постоянная (глобальная) фаза. Такая симметрия приводит к закону сохранения согласно теореме Нётер. В данном случае — к сохранению заряда:
∂μjμ = 0, jμ = i(ϕ*∂μϕ − ϕ∂μϕ*)
Глобальные симметрии лежат в основе сохранения барионного и лептонного числа (в рамках Стандартной модели), изоспина, зарядовой четности, времени и т. д.
Калибровочные симметрии возникают при обобщении глобальных симметрий на случай, когда параметр преобразования становится функцией координат: α → α(x). Однако простое добавление зависимости от координат приводит к нарушению инвариантности лагранжиана, поскольку производные ∂μ начинают действовать не только на поля, но и на α(x).
Чтобы восстановить инвариантность, вводят калибровочные поля (калибровочные бозоны) и заменяют обычную производную на ковариантную производную:
Dμ = ∂μ + igAμ(x)
где Aμ(x) — калибровочное поле, g — константа связи. Новая производная Dμ трансформируется согласованно с полем ϕ(x) и обеспечивает инвариантность лагранжиана.
Рассмотрим комплексное скалярное поле с глобальной симметрией U(1). Инвариантный лагранжиан:
ℒ = ∂μϕ*∂μϕ − m2ϕ*ϕ
Под калибровочной U(1) трансформацией:
ϕ(x) → eiα(x)ϕ(x)
производная ∂μϕ трансформируется неблагоприятно. Для восстановления инвариантности вводится калибровочное поле Aμ(x), и лагранжиан переписывается с ковариантной производной:
$$ \mathcal{L} = (D_\mu \phi)^* D^\mu \phi - m^2 \phi^* \phi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} $$
где Fμν = ∂μAν − ∂νAμ. Это — лагранжиан калибровочной U(1) теории, тождественный электродинамике.
Если группа симметрии неабелева, как SU(2) или SU(3), структура калибровочной теории усложняется. В этом случае калибровочные поля Aμa(x) принадлежат алгебре Ли группы и сопряжены с генераторами Ta:
Dμ = ∂μ + igAμa(x)Ta
Калибровочное тензорное поле Fμνa для неабелевой теории включает нелинейные члены:
Fμνa = ∂μAνa − ∂νAμa + gfabcAμbAνc
где fabc — структура постоянных коммутаторов алгебры Ли. Эти дополнительные нелинейные члены ответственны за самодействие калибровочных бозонов, что отличает неабелевы теории от электродинамики.
Стандартная модель основана на локальной симметрии группы:
SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y
Каждая из этих компонент определяет калибровочные поля (глюоны, бозоны W±, Z0 и γ), их взаимодействие и структуру ковариантных производных для фермионов и бозонов.
По теореме Нётер, каждой непрерывной симметрии соответствует закон сохранения. Например:
Однако, важно подчеркнуть: для локальных симметрий законы сохранения не следуют напрямую из теоремы Нётер, поскольку переменные преобразования зависят от x. Тем не менее, понятие калибровочного тока и его структура остаются полезными в анализе динамики.
Не все классические симметрии сохраняются на квантовом уровне. Некоторые симметрии могут быть аномальными, т. е. нарушаться при квантовании теории. Известным примером является аномалия U(1)_A в квантовой хромодинамике.
В Стандартной модели набор фермионных полей и их зарядов подобран так, чтобы отменялись все потенциальные аномалии, что необходимо для согласованности теории.
Хотя лагранжиан может быть симметричным, вакуумное состояние может не обладать этой симметрией. Это явление называется спонтанным нарушением симметрии. В случае глобальной симметрии это приводит к появлению безмассовых бозонов Голдстоуна. В случае локальной симметрии — к механизму Хиггса, при котором калибровочные поля приобретают массу без нарушения калибровочной инвариантности лагранжиана.
Калибровочные симметрии являются редундантными, то есть они не порождают наблюдаемых состояний. Все физические предсказания теории должны быть инвариантны относительно калибровочных преобразований. Это проявляется, например, в необходимости выбора калибровки при квантовании (например, калибровка Ландау или Фейнмана).
Глобальные симметрии, напротив, имеют физическое проявление: соответствующие законы сохранения могут быть проверены экспериментально.
Калибровочные теории допускают геометрическую трактовку как теории расслоённых пространств (bundle theory), где калибровочные поля являются связностями на расслоении. Эта точка зрения особенно продуктивна в теории Янга-Миллса и при построении теорий великого объединения (GUT).
Симметрии в физике частиц не просто упрощают описание. Они лежат в основе фундаментального устройства мира: определяют взаимодействия, состав частиц, возможные процессы и их вероятности. Исследование расширенных симметрий (например, суперсимметрия, калибровочные расширения, дискретные симметрии) — это путь к выходу за пределы Стандартной модели.