Голографический принцип в теоретической физике
Голографический принцип утверждает, что полное описание физических процессов в данном объёме пространства может быть эквивалентно теории, определённой на его границе. Иначе говоря, вся информация, содержащаяся в объёме, может быть закодирована на поверхности, окружающей этот объём, подобно тому как двумерная голограмма может содержать полное трёхмерное изображение.
Ключевая мотивация этого принципа восходит к исследованиям в области квантовой гравитации и чёрных дыр. Центральным наблюдением является то, что энтропия чёрной дыры, согласно формуле Бекенштейна–Хокинга, пропорциональна площади её горизонта событий, а не объёму:
$$ S_{\text{BH}} = \frac{k c^3}{4 G \hbar} A, $$
где A — площадь горизонта, G — гравитационная постоянная, ℏ — редуцированная постоянная Планка, c — скорость света, а k — постоянная Больцмана. Это противоречит ожиданиям из квантовой теории поля, где энтропия масштабируется с объёмом, а не площадью.
Таким образом, возникла идея, что количество степеней свободы в объёме ограничено площадью его границы. Это приводит к голографическому принципу как обобщённому утверждению о структуре физической реальности.
Первоначально голографический принцип был предложен Герардом ’т Хоофтом, а затем развит Леонардом Сасскиндом. ’т Хоофтом была высказана гипотеза, что гравитационная система в объёме пространства может быть описана посредством квантовой теории без гравитации, живущей на двумерной поверхности, ограничивающей этот объём.
Сасскинд развил эту идею и предложил, что полная теория квантовой гравитации должна быть голографичной, в том смысле, что её описание на пространстве меньшей размерности без гравитации должно быть эквивалентным полному описанию в пространстве с гравитацией.
Голографический принцип тесно связан с границей на информацию, которую можно сохранить в заданной области пространства. Согласно ограничению Бекенштейна:
$$ S \leq \frac{k c^3 A}{4 G \hbar}, $$
то есть максимальная энтропия, а следовательно, и количество информации, которое может быть сохранено в области, ограничено не её объёмом, а площадью. Это фундаментальное ограничение противоречит интуиции из классической теории информации и квантовой теории поля, что также указывает на необходимость пересмотра основ описания пространства-времени.
Наиболее яркой реализацией голографического принципа является гипотеза соответствия AdS/CFT, предложенная Хуаном Малдасеной в 1997 году. Согласно этой гипотезе, теория струн на фоне пространства анти-де Ситтера (AdS) в (d + 1)-мерности эквивалентна конформной квантовой теории поля (CFT), живущей на d-мерной границе этого пространства:
AdSd + 1/CFTd.
Наиболее изученным случаем является соответствие между теорией супергравитации (или теорией струн) на фоне AdS5 × S5 и четырёхмерной ???? = 4 суперсимметричной конформной теорией Янга–Миллса с калибровочной группой SU(N) в пределе большого N. Это соответствие глубоко и количественно, позволяет вычислять физические величины в сильно взаимодействующих квантовых теориях поля с помощью слабосвязанных гравитационных теорий.
Голографический принцип приводит к радикальному пересмотру понятия пространства. Если полная информация о пространстве может быть закодирована на границе, то само пространство можно рассматривать как эмергентную, вторичную структуру, возникающую из более фундаментальной теории, определённой в меньшем числе измерений.
Этот взгляд поддерживается различными исследованиями, включая идею тензорных сетей (например, MERA — multiscale entanglement renormalization ansatz), в которых геометрия пространства-времени может быть реконструирована из структуры запутанности между степенями свободы на границе.
Голографический принцип играет ключевую роль в разрешении информационного парадокса чёрных дыр. Согласно результатам Хокинга, чёрные дыры испаряются, испуская тепловое излучение без структуры. Если испарение завершается без остатка, то информация о начальном состоянии безвозвратно теряется, что противоречит унитарности квантовой механики.
Голографическая точка зрения, особенно в контексте AdS/CFT, предполагает, что вся эволюция, включая коллапс и испарение чёрной дыры, является унитарной, если она описывается на границе. Таким образом, информация не теряется, а сохраняется в граничной теории, что совместимо с фундаментальными законами квантовой механики.
Несмотря на успехи голографического принципа в контексте пространств с отрицательной кривизной (как в AdS), остаётся открытым вопрос: применим ли он к физически реалистичным фоновым пространствам, например, к пространству-де Ситтера (dS), которое, как предполагается, описывает нашу ускоряюще расширяющуюся Вселенную.
Существуют предложения по формулировке голографии в де Ситтеровских фонах (dS/CFT), однако они остаются неполными и технически сложными. Более общая формулировка голографии вне AdS остаётся одной из важнейших задач современной теоретической физики.
В соответствии с голографическим принципом, максимальное количество информации, которое может быть содержано в шаре радиуса R, ограничено площадью его поверхности:
$$ \mathcal{I}_{\text{max}} \propto \frac{A}{l_{\text{P}}^2} \sim \frac{R^2}{l_{\text{P}}^2}, $$
где $l_{\text{P}} = \sqrt{\hbar G / c^3}$ — планковская длина. Это ограничение имеет важнейшие следствия для квантовой теории гравитации, теории информации и космологии.
В отличие от стандартных квантовых теорий поля, в которых число степеней свободы растёт с объёмом, в голографических теориях оно растёт только с площадью границы. Это означает, что плотность информации и энтропии резко уменьшается в высокоэнергетических режимах, и это может служить естественным ультрафиолетовым регуляризатором.
Один из активных направлений исследований — голографическая реконструкция: как именно информация из граничной теории реконструирует поля и геометрию в объёме. Это связано с понятием энтангльмента, квантовой информации и операторной локализации.
Существует целый класс методов, включая HKLL-реконструкцию (Hamilton–Kabat–Lifschytz–Lowe), позволяющих выразить операторы в объёме AdS через операторы, определённые на его границе. Это требует знания функции Грина и строится на аналитических продолжениях, что подчёркивает математическую сложность и богатство структуры голографии.
Голографический принцип распространился за пределы теории гравитации. Он оказался полезным в теории конденсированных сред, описании квантовых фаз, моделей сверхпроводимости, систем с сильной связью и гидродинамики. В этих контекстах AdS/CFT играет роль мощного вычислительного инструмента.
Более того, голография оказалась тесно связана с фундаментальными аспектами теории квантовой информации — такими как неравенства запутанности, квантовая взаимная информация, теоремы восстановления кода и структура энтангльмент-энтропии. Предполагается, что гравитация может быть интерпретирована как проявление квантовой запутанности, а сам голографический код — как квантовый код исправления ошибок.
Таким образом, голографический принцип стал краеугольным камнем исследований в области фундаментальной физики, объединяя гравитацию, квантовую механику и теорию информации.