В неабелевых калибровочных теориях, таких как теория Янга–Миллса, класс конфигураций калибровочного поля Aμa(x) может быть разбит на топологические сектора. Причина этого — наличие в теории нестираемых (глобальных) степеней свободы, связанных с асимптотическим поведением калибровочных полей при |x| → ∞.
Пусть Aμ → 0 на бесконечности, так что соответствующий тензор поля Fμν → 0. Однако калибровочные преобразования U(x) ∈ SU(N), при которых $A_\mu \to A_\mu^U = U A_\mu U^{-1} - \frac{i}{g} (\partial_\mu U) U^{-1}$, могут не стремиться к единичному элементу на бесконечности. Вместо этого, U(x) → U∞(x̂), где x̂ = x/|x| параметризует сферу S3 (в евклидовом 4-пространстве). Таким образом, классы калибровочно неэквивалентных конфигураций характеризуются гомотопическими классами отображений S3 → SU(N), т.е. элементами группы π3(SU(N)) = ℤ.
Каждому такому классу соответствует целое число — топологический заряд или число Пончиягина:
$$ Q = \frac{g^2}{32\pi^2} \int d^4x\, F_{\mu\nu}^a \tilde{F}_{\mu\nu}^a, $$
где $\tilde{F}_{\mu\nu}^a = \frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma}^a$. Этот заряд инвариантен относительно калибровочных преобразований и принимает целые значения для быстро убывающих на бесконечности конфигураций поля.
В евклидовом пространстве (переход Вика: t → −iτ) действие Янга–Миллса имеет вид:
$$ S_E = \frac{1}{4} \int d^4x\, F_{\mu\nu}^a F_{\mu\nu}^a. $$
Минимум действия достигается на решениях уравнений:
Fμνa = ±F̃μνa,
называемых (анти)самодуальными полями. Такие решения автоматически удовлетворяют уравнениям движения и являются седловыми точками евклидова действия — инстантонами (или антиинстантонами). Их действие:
$$ S_E = \frac{8\pi^2}{g^2} |Q|. $$
Простейший инстантон был найден Белавиным, Поляковым, Шварцем и Тюупкиным (BPST-инстантон) в теории SU(2). Его выражение:
$$ A_\mu^a(x) = \frac{2\eta_{a\mu\nu}(x - x_0)_\nu}{(x - x_0)^2 + \rho^2}, $$
где ηaμν — символы ’t Hooftа, x0 — центр инстантона, ρ — его размер. Это решение имеет топологический заряд Q = 1, и действие SE = 8π2/g2.
Каждый инстантон описывается набором непрерывных параметров — модулями: положение x0μ, размер ρ, ориентация в группе SU(N) (если N > 2). Пространство всех инстантонных решений с фиксированным Q имеет конечную размерность, называемую индексом оператора Дирака или размерностью пространства модулей.
Для SU(2) и Q = 1 размер пространства модулей — 8: четыре координаты центра, один масштаб, три ориентации в SU(2). Интегрирование по этому пространству модулей позволяет вычислять вклад инстантонов в функционал интеграла в приближении седловых точек.
Инстантоны вносят неклассические эффекты в квантовую теорию поля. Они ответственны за:
В квантовой хромодинамике (QCD) вклад инстантонов проявляется в структуре вакуума и объясняет такие явления, как ненулевой разрыв массы η’-мезона (решение U(1)-проблемы), благодаря аномалии осевой симметрии. Это подтверждается тем, что в присутствии инстантонов оператор дивергенции аксиального тока имеет форму:
$$ \partial_\mu J_5^\mu = \frac{g^2 N_f}{16\pi^2} F_{\mu\nu}^a \tilde{F}_{\mu\nu}^a, $$
где Nf — число кварков.
Поскольку инстантоны имеют ненулевой вклад в интеграл ∫FF̃, лагранжиан может быть обобщён добавлением θ-терма:
$$ \mathcal{L}_\theta = \theta \cdot \frac{g^2}{32\pi^2} F_{\mu\nu}^a \tilde{F}_{\mu\nu}^a. $$
Он не влияет на классическую динамику, но важен в квантовой теории: изменяет фазу амплитуды перехода между топологическими секторами. Этот параметр θ измеряется в экспериментах через возможное нарушение CP-симметрии (например, EDM нейтрона). Наблюдательное ограничение: θ ≲ 10−10.
Отсюда возникает проблема сильного CP-нарушения, мотивирующая введение аксиона как динамического поля, устраняющего θ-терм.
В присутствии инстантонного фона оператор Дирака имеет нулевые собственные значения. Индекс теоремы Атьи–Зингера даёт число этих нулевых мод:
n− − n+ = Q ⋅ Nf,
где n± — число нулевых мод для левосторонних и правосторонних фермионов. Эти моды важны, поскольку они изменяют структуру интеграла по фермионным полям: при наличии нулевых мод детерминант оператора Дирака обнуляется, если не вставить соответствующие фермионные операторы, что приводит к эффективным взаимодействиям типа:
$$ \prod_{f=1}^{N_f} \bar{\psi}_f \psi_f. $$
Эти взаимодействия не инвариантны относительно осевой симметрии и обеспечивают её аномальное нарушение — это суть механизма ’t Hooftа.
В теориях при конечной температуре важны решения уравнений Янга–Миллса, периодические по евклидовому времени с периодом β = 1/T. Такие решения называются калоронами. Их можно интерпретировать как конфигурации, описывающие термальное туннелирование между различными вакуумами.
Калороны с ненулевым Polyakov loop на бесконечности распадаются на фракционарные объекты — дионы, каждый из которых несёт дробный топологический заряд. Это приводит к новой структуре в невозмущённой температурой вакууме и используется в попытках объяснения конфайнмента в QCD.
Инстантоны играют ключевую роль в теориях с более высокой симметрией, включая суперсимметричные теории и теорию струн. В супергравитации возможны гравитационные инстантоны, как, например, решение Хокинга–Гиббонса, описывающее топологически нетривиальные евклидовы конфигурации метрики.
В теории струн инстантонами могут быть объекты D-бран, обернутые вокруг компактных направлений (например, D(-1)-бран в Type IIB теории), и дают вклад в непертурбативную структуру суперпотенциала в эффективной теории.
Инстантоны предоставляют способ вычисления вкладов, экспоненциально малых при g → 0, т.е. не захватываемых обычным разложением по диаграммам Фейнмана. Они позволяют достоверно вычислять такие эффекты, как:
Также важно, что топологическая структура, связанная с инстантонами, остаётся устойчивой при ультрафиолетовой регуляризации: при правильной постановке задачи (например, на решётке или в рамках регуляризованной теории индекса) топологический заряд сохраняется. Это делает инстантоны важнейшим инструментом при анализе невозмущаемых аспектов теории поля.