Одной из наиболее глубоких и концептуально насыщенных идей в современной теоретической физике является представление о пространстве-времени с искривлёнными дополнительными измерениями. В отличие от компактных плоских измерений, характерных для традиционных моделей Калуцы — Клейна, где дополнительные измерения свернуты в многообразия с тривиальной метрикой, искривлённые измерения допускают сложную геометрию, что ведёт к новым физическим следствиям, не сводимым к наивному расширению размерности.
Ключевым элементом моделей с искривлёнными измерениями является специальный выбор метрики пространства-времени, в которой коэффициенты метрики зависят от координат дополнительного измерения. Типичной формой такой метрики является
ds2 = e−2k|y|ημνdxμdxν + dy2,
где xμ — координаты нашего четырёхмерного мира, y — координата дополнительного измерения, ημν — метрика Минковского, а экспоненциальный фактор e−2k|y| называется варп-фактором. Эта метрика описывает пространство анти-де-Ситтера пяти измерений (AdS5).
Такая геометрия приводит к резкому изменению масштаба наблюдаемой физики вдоль дополнительного измерения. Масштаб массы и энергии изменяется с координатой y, что позволяет объяснить, например, проблему иерархий между гравитацией и слабым взаимодействием.
Наиболее известным примером искривлённой дополнительной размерности является модель Рэндалл–Сандрума (RS1). В этой модели пространство имеет топологию S1/ℤ2 с двумя границами — «бранами» — расположенными в точках y = 0 (ультрафиолетовая брана) и y = πR (инфракрасная брана). Гравитация распространяется в объёме (bulk), а стандартная модель может быть локализована на одной из бран.
Среди ключевых результатов этой модели:
Эффективное подавление массы: если стандартная модель живёт на инфракрасной бране, то масса m0 наблюдается как m = m0e−kπR. При разумных значениях параметров, например kR ∼ 12, можно объяснить соотношение между масштабом Планка и слабым масштабом.
Гравитационные возбуждения (KK-гравитоны): спектр гравитона состоит из основного (нулевого) состояния и дискретного ряда возбуждённых состояний с массами порядка TeV, что делает их потенциально наблюдаемыми на коллайдерах.
Локализация гравитации: несмотря на то, что дополнительное измерение бесконечно в модели RS2 (вариант с одной бранной), нулевая мода гравитона локализована около нашей браны, что обеспечивает приближенную четырёхмерную гравитацию при больших расстояниях.
Искривлённая метрика радикально меняет спектр Калуцы–Клейна. Волновые функции мод полей вдоль дополнительного измерения удовлетворяют уравнениям Шрёдингера с потенциалами, зависящими от варп-фактора. Пример — для скалярного поля Φ(x, y) в AdS5:
[−∂y2 + V(y)]fn(y) = mn2e2k|y|fn(y),
где fn(y) — профиль вдоль пятого измерения, а mn — масса моды в четырёхмерном пространстве.
Потенциалы V(y), возникающие из-за искривления, создают локализационные барьеры, приводящие к концентрации нулевых мод около одной из бран. Это может быть использовано для объяснения массы фермионов: разные поколения локализуются на разном расстоянии от инфракрасной браны, и, следовательно, испытывают разную степень подавления.
Дополнительная размерность в модели RS1 — это не фиксированная константа, а динамическая степень свободы. Колебания расстояния между бранами описываются полем радиона — скалярной модой, возникающей из гравитационного сектора.
Радион играет важную роль:
Уравнение движения радиона и его потенциал требуют решения уравнений на фоне AdS, включая условия на бранах, что делает задачу сложной, но принципиальной для феноменологии.
В моделях с искривлёнными измерениями модификация гравитационного взаимодействия проявляется уже на субмиллиметровых масштабах. Например, в RS1 закон Ньютона получает поправки от возбуждённых KK-гравитонов:
$$ V(r) \approx - \frac{G_N m_1 m_2}{r} \left(1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-m_n r}}{r} \right), $$
где mn ∼ n ⋅ TeV. Эти поправки экспоненциально подавлены на больших расстояниях, но становятся значимыми на расстояниях порядка обратных масс KK-мод.
Экспериментальные проверки закона Ньютона на малых расстояниях накладывают строгие ограничения на параметры модели: радиус и степень искривления должны быть согласованы с данными по гравитации на субмиллиметровом уровне.
Искривлённая геометрия позволяет естественно реализовать геометрический механизм генерации иерархий в фермионных массах и постоянных связи. Стандартная модель может быть частично размещена в объёме, а локализация фермионных полей по пятому измерению задаёт величины перекрытия с хиггсовским полем.
Масса фермиона в этой конструкции даётся интегралом вида:
mf ∼ ∫dy fL(y) h(y) fR(y),
где fL, R(y) — профили левых и правых компонент фермиона, h(y) — профиль хиггсовского поля. Поскольку h(y) сильно локализован на инфракрасной бране, даже небольшие различия в локализации fL, R(y) приводят к экспоненциально различным массам.
Таким образом, иерархия масс может быть объяснена без введения множества параметров — только через геометрию дополнительного измерения.
Вариации моделей Рэндалл–Сандрума могут включать:
Многие из этих обобщений возникают естественно в контексте теории струн, где варп-факторы появляются в решениях уравнений движения десяти- или одиннадцатимерной супергравитации, а браны интерпретируются как D-браны или M-объекты.
Модели с искривлёнными измерениями подвержены целому ряду квантовых эффектов:
Особую трудность представляют радиативные поправки, которые могут разрушать тонкую настройку, необходимую для решения проблемы иерархий. Это делает необходимым внедрение дополнительных симметрий (например, SUSY) или стабилизирующих механизмов.
Модели с искривлёнными измерениями предсказывают спектр возбуждённых состояний (KK-мод), многие из которых могут быть доступны для поиска на ускорителях.
Текущие ограничения с Большого адронного коллайдера (LHC) уже исключают некоторые области параметров, особенно для моделей с сильным варпингом и невысоким масштабом новой физики. Тем не менее, часть допустимого пространства параметров всё ещё доступна, и будущие коллайдеры (например, FCC или CLIC) обладают потенциалом обнаружения или исключения варпированных измерений в широком классе моделей.