Основу современной теории фундаментальных взаимодействий составляет принцип локальной (или калибровочной) симметрии. Пусть имеется поле, например, фермионное поле Дирака ψ(x), обладающее глобальной симметрией относительно группы U(1), т.е. инвариантное при преобразовании:
ψ(x) → eiαψ(x), ψ̄(x) → ψ̄(x)e−iα
где α — постоянный параметр. Однако при попытке сделать параметр α функцией координат, α(x), симметрия нарушается: обычная производная ∂μψ(x) более не трансформируется ковариантно. Таким образом, введение локальной симметрии требует модификации производной.
Для сохранения инвариантности теории при локальных преобразованиях вводится ковариантная производная Dμ, которая должна удовлетворять требованию:
Dμψ(x) → eiα(x)Dμψ(x)
Для реализации этого условия в теории с U(1)-симметрией вводится калибровочное поле Aμ(x), такое что:
Dμ = ∂μ + ieAμ(x)
где e — калибровочный заряд поля ψ.
Трансформация Aμ(x) при локальной U(1)-симметрии задаётся как:
$$ A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) - \frac{1}{e} \partial_\mu \alpha(x) $$
Такое преобразование обеспечивает ковариантное поведение Dμψ.
Калибровочное поле Aμ(x) является новым полем в теории, обладающим собственной динамикой. Оно не является внешним, фиксированным фоном, а подчиняется собственным уравнениям движения. Для описания его динамики необходимо построить инвариантную лагранжиану. В абелевой (U(1)) теории это лагранжиан Максвелла:
$$ \mathcal{L}_{\text{gauge}} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \quad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $$
Инвариантность этого выражения при U(1)-преобразованиях гарантирует консистентность с общей калибровочной симметрией.
Для неабелевых групп (например, SU(2), SU(3)) структура становится более сложной. Пусть ψ(x) — мультиплет, трансформирующийся по представлению некоторой компактной непрерывной группы G:
ψ(x) → U(x)ψ(x), U(x) ∈ G
В этом случае ковариантная производная принимает вид:
Dμ = ∂μ + igAμa(x)Ta
где:
Калибровочное поле Aμ(x) = Aμa(x)Ta трансформируется по более сложному закону:
$$ A_\mu(x) \rightarrow U(x) A_\mu(x) U^{-1}(x) - \frac{i}{g} \left( \partial_\mu U(x) \right) U^{-1}(x) $$
Такой вид трансформации обеспечивает ковариантность Dμψ.
Аналогично тензору Fμν в U(1)-теории, в неабелевой теории вводится тензор напряжённости поля (или “кривизна связности”):
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ + ig[Aμ, Aν]
В компонентной форме:
Fμνa = ∂μAνa − ∂νAμa + gfabcAμbAνc
где fabc — структура констант алгебры Ли.
Этот тензор трансформируется по калибровочным преобразованиям как:
Fμν → U(x)FμνU−1(x)
что позволяет построить инвариантную лагранжиану вида:
$$ \mathcal{L}_{\text{gauge}} = -\frac{1}{2} \text{Tr}(F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}) $$
В более геометрических формулировках, особенно в дифференциально-геометрическом подходе, калибровочное поле Aμ(x) интерпретируется как связность на расслоении, а Fμν — как её кривизна. Ковариантная производная определяется на расслоении, где базой является пространство-время, а типовое пространство — представление группы G. Такая трактовка усиливает аналогию между теорией калибровки и общей теорией относительности, где гравитационное поле играет роль метрической связности.
В Стандартной модели, электрослабое взаимодействие описывается группой SU(2)L × U(1)Y. Фермионы взаимодействуют с двумя калибровочными полями: Wμa для SU(2) и Bμ для U(1). Ковариантная производная для левостороннего дублета лептонов имеет вид:
$$ D_\mu = \partial_\mu + i g \frac{\sigma^a}{2} W_\mu^a + i g' \frac{Y}{2} B_\mu $$
где:
Смешивание этих калибровочных полей в результате механизма Хиггса приводит к наблюдаемым бозонам W±, Z и фотону γ, что наглядно демонстрирует физическую значимость структуры калибровочных полей и ковариантных производных.
Ковариантные производные в неабелевой теории не коммутируют:
[Dμ, Dν] = igFμν
Это равенство подчеркивает, что геометрическое содержание кривизны (тензора напряжённости) отражается в структуре алгебры ковариантных производных, аналогично тому, как в общей теории относительности тензор кривизны Римана связан с некоммутативностью ковариантных производных по метрике.
Ковариантная производная также необходима для построения калибровочно-инвариантных взаимодействий материи и калибровочных полей. Например, взаимодействие Дираковского фермиона с U(1)-полем записывается как:
ℒint = ψ̄(iγμDμ − m)ψ = ψ̄(iγμ∂μ − m)ψ − eψ̄γμAμψ
Последний член представляет взаимодействие с током jμ = ψ̄γμψ. Калибровочная инвариантность обеспечивает сохранение соответствующего тока по теореме Нётер:
∂μjμ = 0
Калибровочные поля обладают избыточными степенями свободы, связанными с возможностью калибровочных преобразований. Для формального квантования таких теорий требуется фиксация калибровки, вводимая, например, через добавление в лагранжиан членов вида:
$$ \mathcal{L}_{\text{gauge-fixing}} = -\frac{1}{2\xi} (\partial^\mu A_\mu)^2 $$
или более общих условий для неабелевых теорий. Такие условия необходимы в квантовой теории поля при использовании, например, диаграмм Фейнмана.
Таким образом, калибровочные поля и ковариантные производные являются краеугольным камнем описания всех известных взаимодействий в рамках Стандартной модели. Именно требование локальной симметрии и структура алгебры Ли соответствующей калибровочной группы определяет форму взаимодействий и поведение элементарных частиц при переносе в пространстве-времени. Ковариантность производной — это не просто техническое средство, а глубокое выражение физической идеи симметрии взаимодействий.