Кинематика глубоконеупругого рассеяния

Глубоконеупругое рассеяние (ГНР) — это процесс взаимодействия высокоэнергичного лептона (например, электрона или нейтрино) с нуклоном, при котором лептон рассеивается на большое угол и передаёт значительное количество энергии, достаточное для возбуждения или разрушения нуклона. Рассматриваем его в рамках квазисвободной модели, когда нуклон представляется как совокупность квазисвободных кварков (партонов).

В ГНР принято использовать следующие кинематические переменные:

• Импульс и энергия начального лептона: k^μ = (E, k⃗)

• Импульс и энергия конечного лептона: k′^μ = (E′, k⃗′)

• Четырёхимпульс, переданный ядру: q^μ = k^μ − k′^μ, с квадратом q² = −Q² < 0

• Инвариантная масса системы гамильтонова тока (нуклон + поглощённый фотон): W² = (p + q)²

• Переданная энергия в системе отсчёта лаборатории: $\nu = \frac{p \cdot q}{M} = E - E'$

• Бьеркеновская переменная x: $x = \frac{Q^2}{2p \cdot q} = \frac{Q^2}{2M\nu}$

• Неупругое рассеяние характеризуется также переменной y: $y = \frac{p \cdot q}{p \cdot k} = \frac{\nu}{E}$

Здесь M — масса нуклона, p — четырёхимпульс нуклона, E и E′ — энергии лептона до и после рассеяния, Q² — квадрат переданного импульса.

Интерпретация переменных

• x: в партонной модели Бьёркена и Фейнмана эта переменная интерпретируется как доля импульса нуклона, переносимая кварком в бесконечном импульсном пределе. Значение 0 < x < 1.

• y: доля энергии начального лептона, переданная целевому нуклону в системе лаборатории. Значение 0 < y < 1.

• Q²: мера «глубины» рассеяния. Большие значения Q² соответствуют большому разрешению процесса и позволяют зондировать структуру нуклона на малых расстояниях.

• W²: квадрат инвариантной массы конечного состояния адронной системы. Если W > M, то рассеяние приводит к возбуждению или разрушению нуклона.

Связь между переменными

Из определений переменных следует ряд соотношений, полезных для анализа данных ГНР:

$$ Q^2 = 4EE' \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) $$

ν = E − E′

$$ x = \frac{Q^2}{2M\nu} $$

$$ y = \frac{\nu}{E} $$

$$ W^2 = M^2 + 2M\nu - Q^2 = M^2 + Q^2\left(\frac{1 - x}{x}\right) $$

где θ — угол рассеяния лептона в лабораторной системе.

Глубоконеупругое рассеяние и масштабная инвариантность

При больших значениях Q² и ν, но при постоянном x, структура процесса становится независимой от масштабов. Это явление известно как масштабная инвариантность. Оно проявляется в поведении структурных функций, описывающих рассеяние.

В частности, сечения ГНР можно выразить через две структурные функции — F₁(x, Q²) и F₂(x, Q²). В пределе Q² → ∞ при фиксированном x, функции становятся зависимыми только от x:

F₁(x, Q²) → F₁(x),  F₂(x, Q²) → F₂(x)

Это поведение наблюдается в эксперименте и подтверждает партонную модель: при больших энергиях рассеяние происходит на квазисвободных точечных кварках.

Выражение сечения

Сечение глубоконеупругого рассеяния в приближении обмена виртуальным фотоном (однопотонный обмен) записывается как:

$$ \frac{d^2\sigma}{dxdQ^2} = \frac{4\pi \alpha^2}{x Q^4} \left[ \left(1 - y - \frac{M^2 x^2 y^2}{Q^2} \right) F_2(x, Q^2) + y^2 x F_1(x, Q^2) \right] $$

где α — постоянная тонкой структуры.

В случае, когда масса лептона мала по сравнению с энергией, и Q² ≫ M²x²y², выражение упрощается:

$$ \frac{d^2\sigma}{dxdQ^2} \approx \frac{4\pi \alpha^2}{x Q^4} \left[ \left(1 - y \right) F_2(x) + y^2 x F_1(x) \right] $$

Если использовать связь между структурными функциями:

F₂(x) = 2xF₁(x)  (предел Каллена-Гросса для фермионов со спином 1/2)

то можно выразить сечение только через одну структурную функцию.

Геометрическая картина в лабораторной системе

Для наглядности полезно рассмотреть кинематику в лабораторной системе, где нуклон находится в покое:

$$ p^\mu = (M, \vec{0}), \quad k^\mu = (E, \vec{k}), \quad k'^\mu = (E', \vec{k}') $$

Переданный импульс:

q^μ = (E − E′, k⃗ − k⃗′) = (ν, q⃗)

Тогда:

Q² = −q² = 4EE′sin²(θ/2)

и можно определить все остальные переменные.

Область допустимых значений переменных

• x принимает значения от 0 до 1.
• y ограничено сверху: $y \leq \frac{Q^2}{x s}$, где s = (k + p)² ≈ 2ME в лабораторной системе.
• Q² ограничено снизу: Q² ≫ M², чтобы можно было говорить о глубоком неупругом рассеянии.
• W² > M², чтобы исключить упругое рассеяние.

Особенности интерпретации при различных x

• x ≈ 1: рассеяние на валентных кварках, система близка к упругому рассеянию.
• x ≪ 1: вклад виртуальных глюонов и морских кварков, важны эффекты множественного рассеяния и эволюции.
• x > 1: возможны при рассеянии на связных ядерных системах (например, в дейтоне или тяжелых ядрах).

Законы сохранения и лоренц-инвариантность

Кинематические переменные x, y, Q², ν, W² построены так, что они являются лоренц-инвариантами или функциями от инвариантов, что делает их удобными для описания процессов в любых системах отсчёта. Особенно важно это при переходе к бесконечному импульсному предельному описанию (infinite momentum frame), в котором формулируется партонная модель.

Практическое использование кинематики

При анализе экспериментальных данных по ГНР (например, на ускорителях типа HERA или SLAC), из измерений энергии и угла рассеяния лептона можно восстановить все основные кинематические переменные. Это позволяет построить распределения по x, Q², y, которые затем сравниваются с теоретическими моделями, структурными функциями и предсказаниями квантовой хромодинамики (КХД).

Кинематика глубоконеупругого рассеяния — фундаментальная база для понимания структуры нуклонов, проверки партонной модели и исследования эволюции кварковых распределений при изменении масштаба Q².